Задачи. 
Криптографические методы защиты информации

Для выполнения вычислений по модулю можно воспользоваться онлайн-калькулятором http://ptrow.com/perl/calculator.pl.

• 3.1. Используя свойства сравнений, упростить и вычислить значение:
  • а) (22¹⁹ + 30³) mod 7;
  • б) (752 + 1221¹⁵) mod 10;
  • в) (17²³ + ЗЗ¹²) mod 16;
  • г) 2 • (17⁵¹ + 67) mod 8;
  • д) 3 • (1043 + 40⁷) mod 5.
• 3.2. Используя малую теорему Ферма, найти значение:
  • а) 4²² mod И;
  • б) 6³³ mod 17;
  • в) 5²⁴ mod 23;
  • г) 8⁴⁹ mod 13;
  • д) 4³³ mod 17.
• 3.3. Найти значение функции Эйлера:
  • а) ср (26);
  • б) ср (39);
  • в) ср (35);
  • г) ф (34);
  • Д)Ф (77).
• 3.4. Используя теорему Эйлера, найти значение:
  • а) 4¹⁴ mod 21;
  • б) 6⁵⁰ mod 35;
  • в) 2⁵¹ mod 39;
  • г) 10¹⁰⁰ mod 33;
  • д) 9⁴⁶ mod 10.
• 3.5. Используя теорему о возведении в степень, но модулю pq, найти значение:
  • а) 28⁴⁹ mod 35;
  • б) 4⁴⁵ mod 46;
  • в) З²⁶ mod 39;
  • г) 12⁵¹ mod 22;
  • д) 5⁶⁶ mod 15.
• 3.6. Используя расширенный алгоритм Евклида, вычислить значение:
  • а) 7^-1 mod 11;
  • б) 3/5 mod 8;
  • в) 2 ³ mod 15;
  • г) 9/7 mod 13;
  • д) б~² mod 7.
• 3.7. Используя китайскую теорему об остатках, решить систему сравнений:
  • а) х = 3 (mod 8),*= 5 (mod 13), .г = 2 (mod 5);
  • б) х = 5 (mod 15), дг = 4 (mod 7), х = 6 (mod 11);
  • в) х = 3 (mod 7), х = 2 (mod 10), х = 3 (mod 9);
  • г) х = 5 (mod 11), х = 4 (mod 12), х = 3 (mod 5);
  • д) х = 2 (mod 9), х = 1 (mod 11), x = 3 (mod 8).
• 3.8. Два абонента системы Днффи — Хеллмана с параметрами р и g выбрали случайные значения х и у соответственно. Найти значение сформированного ими общего секретного ключа к:

а) р = 11, g = 7, х — 3, у = 6;

• б) р = 47, g = 5, х = 8, у = 17;
• в) р = 23, g = 10, х = 8, у = 5;
• г) р = 59, g = 13, х = 12, г/ = 7;
• д) р = 47, g = 11, х= 21, у — 14.
• 3.9. Два абонента, использующие шифр Шамира с параметром р, выбрали для передачи сообщения случайные значения х, и г/, соответственно. Известно, что на первом шаге абонент, А передал В число X,. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти значения параметров х₂ и у₂ и определить значение переданного сообщения М:
  • а) р = 23, х, = 9, г/, = 3, X, = 8;
  • б) р = 37, х, = 11, г/, = 7, X, = 3;

в) р = 29, х, = 15, г/, = 17, X, = 21;

• г) р = 31, х, = 7, г/, = 19, X, = 15;
• д) р = 41, х, = 13, г/, = 9, X, = 25.
• 3.10. Абоненты используют шифр Эль-Гамаля с параметрами р и g. Отправитель желает послать абоненту с открытым ключом у сообщение М. Вычислить значение криптограммы (г, s) при условии, что отправитель выбрал для шифрования сообщения М случайное число к:
  • а) р = 23, g = 10,//= 13, М = 10, к = 2;
  • б) р = 59, g = 13, у = 6, М = 7, к = 12;

u)p = A7, g= 15, у = 34, М = 5, к= 17;

г) р = ll, g= 7, у = 5, М = 10, k = 9;

• д) р = 47, g = 5, у = 40, М = 20, к = 5.
• 3.11. Абоненты используют шифр Эль-Гамаля с параметрами р и g. Абонент, имеющий личный ключ х, получил криптограмму (г, s). Определи ть значение открытого ключа у этого абонента и переданное сообщение М:
  • а) р = 59, g = 10, х= 7, г = 15,5 = 31;
  • б) р = 23, g = 7, х= 3, г = 9, s = 8;
  • в) // = 11, g = 8, х= 14, г = 6, s = 6;
  • г) р = 47, g = 11, х= 8, г = 37, s = 29;
  • д) /э = 23, g= 15, х= И, г = 3, s = 6.
• 3.12. Открытые ключи абонентов системы RSA опубликованы в справочнике (табл. 3.11). Абонент 1 желает отправить абоненту 2 сообщение М. Вычислить значение криптограммы С:

Таблица 3.11

Справочник открытых ключей абонентов системы RSA.