Оптимальный портфель рисковых ценных бумаг

На множестве эффективных портфелей каждый инвестор выбирает тот, который наилучшим образом соответствует его предпочтениям относительно доходности и риска, т. е. максимизирует свою функцию полезности U = U (r, а). Какую точку на кривой выбора предпочтет инвестор, зависит от его отношения к риску. По отношению к риску людей можно разделить на три неравные группы: любящие риск, равнодушные к риску и нерасположенные к риску. Большинство людей относится к третьей группе. Они готовы платить за предотвращение или снижение риска. На этом основана деятельность страховых компаний, успешно функционирующих в большинстве стран.

Для группировки людей по их отношению к рисковому доходу воспользуемся понятием «гарантированный эквивалент лотереи». Это гарантированный доход заданной величины, который имеет для индивида такую же полезность (обеспечивает такой же прирост его благосостояния), как и возможность участвовать в лотерее с заданной вероятностью определенного выигрыша. Проиллюстрируем применение этого критерия следующим примером.

Участникам коллективного заполнения кроссворда за отгаданное слово предлагается на выбор либо сразу получить 5000 руб., либо вынуть вслепую из урны шар; если шар окажется красным, то игрок получает 10 000 руб., если желтым, то 8000 руб., а если синим, то 10 00 руб. При этом известно, что в урне находится 2 красных, 3 желтых и 5 синих шаров. Те участники, которые захотят вынимать шар, расположены к риску, так как гарантированному доходу в размере 5000 руб. они предпочитают рисковый доход с математическим ожиданием: 0,2 • 10 000 + 0,3 • 8000 + 0,5 • 1000 = 4900 руб. Когда ожидаемый выигрыш этой лотереи возрастет до 5000 руб. (например, в результате того, что за вынутый красный шар будут платить 10 500 руб.), тогда вытягивать шары захотят и безразличные к риску игроки. Не расположенные к риску участники пойдут к урне только в том случае, если ожидаемый выигрыш превысит 5000 руб.

Разность между ожидаемой величиной вероятностного дохода и его гарантированным эквивалентом называют премией за риск. Типичный инвестор не считает риск благом и требует за него премию.

Простую функцию полезности не расположенных к риску людей предложил М. Рубинштейн^[1]: U = щ_р-о^[2]р, где / — коэффициент, характеризующий индивидуальные предпочтения инвестора относительно доходности и риска.

Графически такая функция изображается в виде семейства кривых безразличия инвестора (рис. 5.5), построенных, но формуле r_p = (U₀ +<�з^[2])/ |/, где U₀ — заданная величина полезности.

Оптимальный портфель для типичного инвестора определяется в результате наложения его карты безразличия на множество эффективного выбора; на рис. 5.6 ее представляет точка Я. Алгебраическая модель и числовой пример определения оптимальной структуры портфеля из п акций приведены в математическом приложении к данной главе.

Рис. 5.6. Оптимальный портфель

Рис. 5.5. Функция полезности типичного инвестора.

• [1] Rubinstein М. Е. A comparative statics analysis of risk premiums //Journal of Business. 1973.
• [2] Vol.46. P. 605−615.
• [3] Vol.46. P. 605−615.