Теорема о взаимности перемещений

В п. 5.2 сформулирована теорема о взаимности виртуальных работ внешних сил. Согласно формуле (5.9) А_тп = А_пт. Рассмотрим частный случай, когда в обоих состояниях системы (рис. 5.12) действуют две силы Р= 1. Согласно принятым в п. 5.1 обозначениям перемещение по направлению силы Р = 1 во втором состоянии равно 8₁₂, а по направлению ?2 = 1 в первом состоянии S₂₁. Формула (5.9) для этого частного случая запишется в виде Pi6₁₂ = Р₂8₂₁, но так как обе силы равны единице (Р = Р₂ = 1), то получим.

Равенство (5.19) определяет взаимность перемещений.

Рассмотрим пример (рис. 5.13) для случая, когда в первом состоянии действует единичная сила Р = 1, а во втором момент М₂ = 1. Силе Р = 1 во втором состоянии соответствует линейное перемещение 8i₂, а моменту М₂ = 1 — угол поворота сечения в первом состоянии. Для этого случая также 612 ⁼ 621, т. е. 6₁₂ = ф₂1.

Рис. 5.14.

Рис. 5.12.

Рис. 5.13.

Приведем еще один пример. Пусть в первом состоянии на часть балки действует равномерно распределенная нагрузка q = = 1, а во втором — сила Р₂ = 1 (рис. 5.14). В первом случае имеем дело с обобщенной единичной нагрузкой q (рис. 5.14, а). Выясним, какой физический смысл имеет обобщенное перемещение. Для этого необходимо теорему о взаимности перемещений трактовать как теорему о взаимности работ при единичных нагрузках: 1 -8|₂ = 1 *8₂₁.

Работу 1б₂₁ можно определить интегрированием элементарных работ. Приложим в сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянием, силу, действующую на элемент балки cLx: dP = qdx. Виртуальная работа этой силы па перемещении ур (х), взятом во втором состоянии (рис. 5.14, б) будет qy_P(x)dx. Полная работа.

Этот интеграл равен площади линии прогибов во втором состоянии, которая заштрихована на рис. 5.14, б. Таким образом, 812 ⁼ 0)21;

Во избежание недоразумений отметим еще раз, что перемещения 8j2 или 8₂j берутся по направлению соответствующих внешних силовых воздействий. Поясним сказанное на примере. На рис. 5.15 показаны два состояния ломаного стержня под действием единичных факторов Р = 1 и М₂ = 1. Точка k приложения силы Р_{ во втором состоянии переместится от момента М₂ = 1 в точку k. Перемещение этой точки в плоскости стержня будет равно отрезку kk. Однако полное перемещение точки k не совпадает с направлением силы Р. В^этом случае 8₂i представляет собой проекцию отрезка kk на линию, которая во втором состоянии имеет такое же направление, как сила Р_{ в первом состоянии. Следовательно, в равенстве (р₁₂ ⁼ 821 величины (р и 8 должны браться в соответствии с рис. 5.15.

Рис. 5.15.

В заключение отметим, что размерности 8₁₂ и 6₂i могут быть разные, поэтому равенство (5.19) надо рассматривать как равенство работ от единичных воздействий.