Моменты инерции плоских сечений

Различают осевые, полярные и центробежные моменты инерции сечений.

Осевым моментом инерции сечения относительно какой-либо оси называется сумма произведений элементарных произведений площадей dА па квадрат их расстояний до данной оси (см. рис. 8.1):

Полярным моментом инерции сечения относительно какого-либо полюса называется сумма произведений элементарных площадей dА на квадраты их расстояний до этого полюса'.

Из рис. 8.1 видно, что р² = у¹ + z¹ и следовательно,.

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат (например, z и у, как показано на рис. 8.1) называется сумма произведений элементарных площадей cL4 на их расстояния до этих осей:

Из рис. 8.1 при у = Ус + Уу ^{z = z}c ^{+ 2}i осевой момент инерции.

Однако так как.

можно записать и, аналогично, Формулы (8.12) и (8.13) используются при определении моментов инерции при параллельном переносе осей.

Если при этом рассматриваемое плоское сечение можно разбить на ряд простейших геометрических фигур, формулы (8.12) и (8.13) принимают вид.

где а, и bj — расстояния от центров тяжести составляющих сечение фигур до осей 2 и у.

Из формул (8.12) и (8.13) следует, что можно ограничиться изучением изменения моментов инерции относительно центральных осей. Учитывая это и приняв начало координат 0, найдем моменты инерции относительно осей уj и z_v повернутых по отношению к первоначальным осям у и z на угол 0 (рис. 8.2).

По формулам преобразования координат запишем:

и, следовательно,.

Подставив в выражениях (8.15)—(8.17).

Рис. 8.2.

окончательно получим:

Центральные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями, моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Приравняв нулю последнее уравнение из (8.18), получим.

откуда найдем два взаимно перпендикулярных главных направления I и II.

Осевые моменты относительно этих осей (главные моменты инерции) будут являться наименьшим и наибольшим моментами инерции относительно всех возможных центральных осей:

Часто вместо формулы (8.19), определяющей положение главных осей, пользуются формулами.

где — угол между осью г и осью, относительно которой момент инерции принимает максимальное значение, а 0₂ — угол между осью г и осью, относительно которой момент инерции принимает минимальное значение.

На основе математического анализа формул (8.18)—(8.21) можно сделать следующие обобщения.

• 1. Главная ось, относительно которой главный момент инерции принимает максимальное значение, составляет меньший угол с той из осей, относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение.
• 2. Относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю.
• 3. Взаимно перпендикулярные центральные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, всегда являются главными осями инерции.
• 4. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой.

Моменты инерции имеют размерность метр или сантиметр в четвертой степени (м⁴ или см⁴).