Понятие логического закона в современной логике. 
Логически истинные высказывания

Приступим теперь к анализу содержания понятия «логический закон» в современной логике. Рассмотрим такое предложение:

«Спартак» выиграл этот матч или не выиграл его.

Логическая форма данного высказывания: р или неверно, что р (р — «„Спартак“ выиграл этот матч»). Построим для нее такую таблицу (в строчках 2 и 3 приведены значения выражений, определенных в строчке 1: в первом и четвертом столбиках возможные значения самого р, в третьем — выражения «неверно, что р», во втором — всего выражения «р или неверно, что р»)

(Выражения вида «А или В» истинны в тех и только тех случаях, когда хотя бы один из членов А и В истинен.) Обратим внимание на результирующий столбик (второй). Оказывается, что вне зависимости от того, каким является выражение р (истинным или ложным), т. е. вне зависимости от того, выиграл «Спартак» этот матч или нет, значение всего выражения будет «истина». Иными словами, истинностный статус всего высказывания не зависит от его фактического содержания — оно истинно уже в силу одной только своей логической формы. Такие конструкции и называются в современной логике логическими законами.

Логический закон — такая логическая форма высказывания, которая принимает значение «истина» при любой интерпретации параметров в ее составе, т. е. при любом возможном положении вещей.

А сами высказывания (типа нашего «„Спартак“ выиграет этот матч или не выиграет его») называются в таком случае логически истинными высказываниями. Важно понять, что для установления того факта, что они истинны, достаточно узнать лишь некоторые самые общие обстоятельства. Покажем на нашем примере. О каких обстоятельствах здесь речь? О том, что комбинация знаков «или» обозначает определенный тип логической связи двух утверждений (а именно тот, что имеет место описанное по крайней мере в одном из них), а комбинация знаков «не» — другой логический оператор (утверждение, что данный факт не имеет места в действительности). О том, что комбинация знаков «„Спартак“ выиграет матч» описывает некий элементарный факт, а комбинация «его» означает то же, что и «этот матч». И всё! Любое гипотетическое разумное существо во Вселенной, получив эту информацию, придет к выводу, что все исходное высказывание истинно — даже не понимая, о каких явлениях идет речь в частях этого высказывания. Здесь уместно вспомнить знаменитого «Бармаглота» из кэрроловской «Алисы», внешне бессмысленного текста, для которого, кстати, именно в силу этого обстоятельства существует множество различных переводов на русский язык^[1]. Можно как угодно трактовать значения слов «варкалось», «хливкие», «шорьки» и т. д., но не вызывает сомнений истинность высказывания типа «Этот хливкий шорёк в момент, когда варкалось, пырял по наве, или в этот момент он не пырял по наве» (разумеется, с учетом обстоятельств, описанных нами выше, при разборе «парадокса волосатого короля Франции»).

Находчивость Неоднократные попытки студента Семочкина взять интеграл из задачника Демидовича не увенчались успехом. Тогда сообразительный студент взял и унес весь задачник.

Математические анекдоты.

U RL: http://www.respectme.ru/ anecdote/mathematical?page=3.

Логически истинное высказывание — высказывание, логическая форма которого есть логический закон.

Рассмотрим еще один пример. Возьмем такое предложение:

Все толстяки добродушны, или некоторые из них (толстяков) не добродушны.

Если выявлять логическую форму этого высказывания без учета структуры простых высказываний, мы получим «р или q»,

где р — «Все толстяки добродушны», q — «Некоторые толстяки не добродушны». Выражение «р или q» явно не является логическим законом, что становится видно, если проинтерпретировать и р, и q как ложь (фактически подставить на их место в логической форме «р или q» ложные высказывания). Тогда все выражение примет значение «ложь». Например, «5 — четное число, или ни одно четное число не делится на 5» — безусловно, ложное высказывание. Поэтому исходное высказывание (по определению) не является логически истинным.

Но если выявить форму этого исходного высказывания «все толстяки добродушны, или некоторые из них (толстяков) не добродушны» с учетом внутренней структуры простых высказываний, мы получим иную картину.

Все S есть Р, или некоторые S не есть Р (S — толстяки, Р — добродушные).

Нетрудно видеть, что для любых терминов S и Р эта логическая форма примет значение «истина», так как-либо левая, либо правая часть будет истинной. Либо все объекты данного класса обладают неким свойством, либо как минимум один (а именно в значении «по крайней мере один» употребляется в логике термин «некоторые») им не обладает. Третьего не дано. Стало быть, наше высказывание логически истинно.

Так как же быть? Не может же оно одновременно и быть, и не быть логически истинным? Конечно, нет. Просто надо учесть, что само понятие «логически истинное высказывание» («логический закон») нуждается в уточнении. Мы квалифицируем те или иные логические формы как логические законы (и соответствующие им высказывания как логически истинные) не вообще, а в рамках того или иного способа выявления этой логической формы, в рамках соответствующей логической системы (дальше мы увидим, что разные логические системы отличаются друг от друга главным образом допустимой в них глубиной анализа логической формы). Поэтому не будет противоречием сказать, что в системе, где можно выявить логическую форму лишь без учета структуры простых высказываний, наше высказывание не будет логически истинным, а в системе, выразительные возможности которой позволяют анализировать и структуру простых высказываний тоже, оно в то же самое время будет логически истинным. Иными словами, при различных способах выявления логической формы мы можем получать различные ответы на вопрос, является ли данное высказывание логически истинным. Но в качестве итогового ответа обычно выбирается тот, который может быть получен при использовании более богатой с точки зрения выразительных возможностей системы.

Еще раз напомним о независимости квалификации высказывания как логически истинного от знания его фактического содержания. Рассмотрим такое предложение: «Если все капибары — млекопитающие, то некоторые из млекопитающих — капибары».

Даже если понятия не иметь о том, кто такие (или что такое) капибары (на самом деле это гигантские грызуны типа морских свинок), нетрудно понять, что наше высказывание логически истинно, так как его логическая форма «Если все S есть Р, то некоторые Р есть 5» представляет собой логический закон. Ни для каких S и Р не может быть так, что «Все S есть Р» истинно, а «некоторые Р есть S» ложно (только тогда наше условное высказывание могло бы стать ложным).

Теперь рассмотрим двойственный случай. Возьмем высказывание: «Спартак» выиграл этот матч и в то же время не выиграл его. («Деточкин, конечно, виноват, но он… не виноват».)

Выявив его логическую форму (р и не-p), построим для нее таблицу, аналогичную вышеприведенной:

(Выражения вида «А и В» истинны в тех и только тех случаях, когда оба члена А и В истинны.).

Теперь мы видим, что все выражение ложно вне зависимости от значения параметра р, который тут единственный. Такие логические формы называются логическими противоречиями (в одном из значений этого термина), а построенные по ним высказывания — логически ложными. Очевидно, что логические противоречия есть отрицания логических законов.

Противоречие — такая логическая форма высказывания, которая принимает значение «ложь» при любых интерпретациях параметров в ее составе.

Логически ложное высказывание — высказывание, логическая форма которого есть противоречие (т.е. отрицание логического закона).

Высказывание «в детстве у меня не было детства» (А. П. Чехов) тоже формально является логически ложным. Его логическая форма — «А не есть А» — гарантирует, что при любой интерпретации параметра А мы получим ложное высказывание. Надо заметить, что люди редко нарушают подобные логические законы открыто. Чаще всего противоречие проникает в наши рассуждения в неявной форме, по недомыслию.

Разумеется, основную часть высказываний составляют собственно содержательные высказывания (истинностный статус которых зависит от конкретного содержания, а не только от формы) — те, которые не являются ни логически истинными, ни логически ложными. Например: «6 — число совершенное, а число 24 — нет», «Или эмир умрет, или ишак сдохнет», «Если у животного есть крылья, оно заведомо не земноводное». Такие высказывания называются логически случайными, или недетерминированными (т.е. такими, значение которых не обусловлено (детерминировано) только логикой).

Логически недетерминированные (случайные) высказывания высказывания, логическая форма которых не является ни логическим законом, ни противоречием, т. е. принимает значение «истина» при одних интерпретациях параметров и значение «ложь» — при других.

Обобщим нашу классификацию высказываний в двух схемах (рис. 1.5 и 1.6).

Рис. 1.5. Классификация высказываний (1-й вариант).

Рис. 1.6. Классификация высказываний (2-й вариант).

Для исследования логических форм языковых контекстов строятся специальные логические теории. Логической теорией называется система взаимосвязанных понятий и суждений, касающихся логической формы какихлибо языковых контекстов.

Для этих целей в логических теориях используются специальные формализованные языки, позволяющие отвлекаться от смысла дескриптивных (содержательных) терминов и фиксировать лишь способ связи их содержаний друг с другом. Все символы таких языков делятся на три вида:

• 1) логические, позволяющие описывать логическую форму;
• 2) нелогические, которыми заменяются дескриптивные выражения;
• 3) технические, служащие для упрощения способа записи.

Любая логическая теория должна быть непротиворечивой и полной.

Теория называется непротиворечивой, если в ней можно доказать только

те утверждения, которые являются истинными на данной предметной области. Теория называется полной, если в ней можно доказать все утверждения, которые являются истинными на данной предметной области.

В рамках этого курса мы подробно рассмотрим две различные теории — классическую пропозициональную логику и силлогистику. Каждая из них анализирует логические формы наших мыслей на определенном уровне. Соответственно, каждая из них по-своему конкретизирует понятия логического закона и логического следования. Но при этом эти теории (равно как и ряд других — классическая логика предикатов, теория бинарных отношений и др.) являются полными и непротиворечивыми.

Выполните упражнения 7—8 из Практикума.

• [1] См. здесь: URL: http://centrolit.kulichki.net/centrolit/jabberwocky/index.html. Любопытный рассказ о «феномене Бармаглота» можно прочесть тут: URL: http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-33 693. Интересно, что после известных событий 2012—2013 гг. в отечественном фольклоре появился Бурмаглот. (URL: http://trv-science.ru/2013/06/04/kadrovaya-chekharda.)