Аналитический сигнал и преобразования Гильберта

Для адекватного математического представления сигналов с ограниченным спектром во временной области было введено понятие «аналитический сигнал», основанное на использовании преобразования Д. Гильберта.

Аналитический сигнал. С помощью формулы Эйлера представим гармоническое косинусоидальное колебание единичной амплитуды суммой двух комплексно-сопряженных функций: cosco? = 0,5(e^;to' + e~^j).

^{Возможность такого представления позволяет и произвольный физический сигнал u (t) с известной спектральной плотностью 5(со) записать (через обратное преобразование Фурье) в виде суммы двух составляющих, каждая из которых содержит либо только положительные, либо только отрицательные частоты:}

^{В теории сигналов функцию}

^{из представления (2.132) стали называть аналитическим сигналом, отвечающим вещественному (физическому) сигналу u (t).}

^{Заметим, что аналитический сигнал z_u(t), описываемый формулой (2.133), есть комплексный сигнал, сформированный из вещественного сигнала u (t).}

^{Теперь проведем некоторые преобразования первого из интегралов в правой части формулы (2.132). Заменив переменную Q = -со и проделав несложные выкладки в виде обратного преобразования Фурье, приходим к равенству}

^{где z*_u(t) — сигнал, комплексно-сопряженный с аналитическим сигналом z_w(?).}

^{Нетрудно заметить, что формула (2.132) устанавливает следующую связь между физическим u (t) и аналитическим z_u(t) сигналами:}

^{Преобразования Гильберта. Еще более упростить анализ узкополосных сигналов позволяют преобразования Гильберта. Представим произвольный сигнал u (t) как произведение двух функций (по формуле (2.121)):}

^{т.е. выделим его амплитудную огибающую U (i) и полную фазу |/(?). Способов сделать это очень много, поскольку одной функции u (t) необходимо поставить в соответствие набор из двух функций U (t) и i (t). Однако такое представление должно удовлетворять нескольким ограничениям по огибающей и фазе:}

• ^{• абсолютное значение (модуль) сигнала u (t) в любой момент времени не превышает значений огибающей: U (t) > u (t);}
• ^{• касательные, проведенные к кривым U (t) и u (t) в тех точках, где предыдущее неравенство превращается в равенство, совпадают, что означает равенство их производных;}
• ^{• малым изменениям u (t) соответствуют малые изменения U (t);}
• ^{• необходимо, чтобы для анализируемого гармонического сигнала обязательно выполнялось равенство комплексной (2.124) и физической огибающих U_u(t) = | U_u(t) | = U и полная фаза |/(?) = со₀t + ср (?);}
• ^{• полная фаза и мгновенная частота не должны зависеть от мощности сигнала, т. е. со (?) = со₀.}

^{Разумно требование, что полная фаза не должна меняться при умножении или делении сигнала на произвольный постоянный коэффициент. С учетом этих требований способ выделения амплитудной огибающей и полной фазы из произвольного сигнала оказывается единственным: эта операция производится с помощью преобразования Гильберта. Несложные вычисления по формуле (2.134) дают равенство u (t) = Rez_w(?);}

^{Мнимую составляющую аналитического сигнала u (t) = Imz_u(f) называют сопряженным по Гильберту сигналом (сопряженным сигналом) по отношению к физическому колебанию u{t).}

^{Физический сигнал u (t) и сопряженный ему сигнал ii (t) ортогональны:}

^{где Т — период следования физического сигнала.}

^{Действительную и мнимую части аналитического сигнала называют квадратурными составляющими.}

^{Итак, аналитический сигнал можно представить через физический и сопряженный, но Гильберту сигналы в виде суммы}

^{Очевидно, что аналитический сигнал на комплексной плоскости отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось равна исходному сигналу u (t).}

^{Согласно прямому преобразованию Гильберта сопряженный сигнал связан с физическим следующим уравнением:}

^{Обратное преобразование Гильберта от сопряженного сигнала u (t) дает физический сигнал}

^{Символическая их запись имеет вид}

^{С помощью физического и сопряженного по Гильберту сигналов легко определить огибающую U_u(t), полную фазу y_u(t) и мгновенную частоту со_м(?) физического сигнала u (t):}

^{Дифференцирование соотношения (2.138) после предварительного возведения в квадрат обеих его частей:}

^{в точках соприкосновения, где дает равенство производных}

^{т.е. в точках соприкосновения сигнал и его огибающая совпадают и имеют одинаковые скорости изменения. Отсюда и название огибающей для функции U_u(t).}

^{Поскольку аналитический сигнал является комплексной функцией, на комплексной плоскости он отображается вектором, вращающимся против часовой стрелки с опорной частотой со₀; при этом его модуль и фазовый угол изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось комплексной плоскости в любой момент времени равна физическому сигналу u (t).}

^{Смысл термина «аналитический сигнал» заключается в том, что при переходе к переменной t = т +jx функция z_u(t) = z_u(x + jx), определяемая в соответствии с формулой (2.133) интегралом}

^{является аналитической функцией для всех х > 0.}

^{Нетрудно заметить, что прямое преобразование Гильберта (2.136) представляет собой свертку сигнала u (t) и функции 1 /(тсt). Это означает, что преобразование Гильберта может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами (такие системы описаны в гл. 4). Из этого следует, что можно легко определить комплексный коэффициент передачи преобразования Гильберта}

^{Из формулы (2.141) следует, что АЧХ преобразования Гильберта равна единице всюду, кроме нулевой частоты, т. е. преобразование Гильберта не меняет амплитудных соотношений в спектре сигнала, лишь удаляя из него постоянную составляющую. Фазы всех спектральных составляющих в области положительных частот уменьшаются на 90° (коэффициент j), в области отрицательных частот — увеличиваются на 90° (коэффициент -j). Можно показать, что результат преобразования Гильберта (2.136) есть реакция линейной системы с импульсной характеристикой 1 /(nt) при подаче на ее вход сигнала u{t).}

^{Формально способ получения сопряженного сигнала с помощью прямого преобразования Гильберта (2.136) можно представить себе следующим образом. Исходное физическое колебание u (t) подается на вход некоторого устройства, которое осуществляет поворот фаз всех его спектральных составляющих на угол -90° в области положительных частот и на угол 90° в области отрицательных частот, не изменяя при этом их амплитды. По существу преобразователь Гильберта должен представлять собой идеальный фазовращатель, вносящий на всех частотах фазовый сдвиг, равный 90°. Устройство, обладающее подобными свойствами, в теории связи называют квадратурным фильтром.}

^{Пример 2.12}

^{Определим сигнал, сопряженный с гармоническим колебанием u (t) = cos со₀t. Запишем выражение для аналитического сигнала.}

^{Решение}

^{Результаты можно получить непосредственно из формулы прямого преобразования Гильберта (2.136). Для этого, введя новую переменную х = т — t и осуществив несложные преобразования, запишем}

^{Из курса математики известно, что}

^{Тогда после подстановок этих значений получаем, что гармоническому колебанию u{t) = cos со/ соответствует сопряженный по Гильберту сигнал u (t) = sin со/, проходящий через нуль тогда, когда значение физического сигнала максимальное.}

^{Из полученных вычислений легко заметить, что прямое преобразование Гильберта обеспечивает необходимый выбор мнимой части комплексного сигнала для гармонического колебания u (t) = cos со/. Операция сдвигает все гармонические составляющие сигнала по фазе на ±п/2 и удаляет постоянную составляющую.}

^{Если в соотношение (2.135) подставить физический и сопряженный сигналы, то для гармонического колебания u (t) = cos со/ аналитический сигнал равен}

^{По аналогии с решенным примером нетрудно убедиться в том, что синусоидальному колебанию u (t) = sin со/ соответствует сопряженный сигнал вида u (t) = -cos со/.}

^{Также можно записать и аналитический сигнал для данного колебания:}

^{Если исходный физический сигнал состоит из суммы гармонических колебаний (без постоянной составляющей), т. е.}

^{то сопряженный сигнал будет}

^{Ряд (2.142) называется сопряженным ряду (2.143).}

^{Пример 2.13}

^{Задано простое гармоническое колебание единичной амплитуды u (t) = cos со/. Определим его огибающую, полную фазу и мгновенную частоту.}

^{Решение}

^{Огибающая исходного сигнала согласно формуле (2.138)}

^{равна его амплитуде и не зависит от времени.}

^{Полную фазу заданного сигнала определим по формуле (2.139):}

^{а мгновенную частоту — но формуле (2.140):}

^{Из примера 2.13 следует, что нахождение физической огибающей, полной фазы и мгновенной частоты гармонического сигнала с помощью преобразования Гильберта приводит к результатам, согласующимся с обычными представлениями о свойствах гармонических колебаний.}

^{Ввод аналитического и сопряженного сигналов не позволяет получить каких-либо новых сведений о физическом сигнале u (t). Однако они значительно расширяют систематические методы исследования узкополосных процессов.}

^{Спектральная плотность аналитического сигнала и комплексной огибающей. Сравненим амплитудные спектры аналитического сигнала и комплексной огибающей (рис. 2.59). Положим, что ^(со) — спектральная плотность физического сигнала u (t) (рис. 2.59, а). Введем функцию Z_M(со), связанную с аналитическим сигналом z_u(t) прямым преобразованием Фурье}

^{и являющуюся спектральной плотностью аналитического сигнала.}

^{Аналитический сигнал получают добавлением к вещественному сигналу u (t) сопряженной его части в виде преобразования Гильберта: z_u(t) = u (t) + ju (t).}

^{. А Обозначим через 5(со) спектральную плотность сопряженного сигнала u (t). Тогда в силу линейности прямого преобразования Фурье спектральная плотность аналитического сигнала запишется как сумма}

^{Рис. 259. Амплитудные спектры:}

^{а — вещественного сигнала; 6 — аналитического сигнала; в — комплексной огибающей Учитывая, что преобразование Гильберта является линейным и его коэффициент передачи определяется формулой (2.141), находим}

^{Равенство (2.144) выполняется тогда, когда спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов связаны между собой следующим образом:}

^{Полученный результат (2.144) весьма интересен. В области положительных частот спектры вещественного сигнала и добавленной мнимой части (с учетом дополнительного фазового сдвига в 90°, вносимого множителем j) складываются, давая удвоенный результат. В области же отрицательных частот эти спектры оказываются противофазными и взаимно уничтожаются. Таким образом, спектральная плотность аналитического сигнала равна удвоенному значению спектральной плотности физического сигнала и находится в области только положительных частот, т. е. оказывается односторонней (рис. 2.59, б).}

^{Найдем спектральную плотность комплексной огибающей Y_u(со) сигнала u (t). Для этого используем связь аналического сигнала z_u(t) и комплексной огибающей U_u(t): z_u(t) = U_u(t)e^ot. Очевидно, что U_u(t) = z_u(t)e Тогда}

Итак, спектральная плотность комплексной огибающей представляет собой сдвинутую на со₀ спектральную плотность аналитического сигнала. Спектр комплексной огибающей не обязательно симметричен относительно нулевой частоты.

Задан низкочастотный физический сигнал u (t) с равномерной спектральной плотностью 5₀ в полосе частотсо_в < со < со_в (рис. 2.60, а). Определим физический и сопряженный с ним сигналы.

Рис. 2.60. К примеру 2.14:

а — спектр физического сигнала; 6 — физический (/) и сопряженный (2) сигналы.

Решение

Согласно формуле (2.133) аналитический сигнал.

Выделив вещественную и мнимую составляющие аналитического сигнала, находим вещественный сигнал.

и сопряженный ему.

Временные диаграммы физического (1) и сопряженного (2) сигналов приведены на рис. 2.60, 6 для случая

Результаты примера 2.14 отражают одно из основных свойств преобразования Гильберта: если в момент времени t исходный сигнал u (t) достигнет экстремума, то в окрестности этой точки сопряженный ему сигнал пройдет через нуль.

Одно из простейших и в тоже время очень важных свойств преобразований Гильберта — линейность:

при любых постоянных коэффициентах а_х и а₂, в чем можно убедиться непосредственно.

Преобразование Гильберта для узкополосного сигнала. Пусть известна спектральная плотность Yu (со) комплексной огибающей Uu (t) узкополосного сигнала u (t), имеющего опорную (центральную) частоту со0. Согласно соотношению (2.131) спектр этого сигнала.

Нетрудно заметить, что первое слагаемое в правой части уравнения соответствует области частот со > 0, второесо < 0. Тогда на основании формулы (2.145) спектральная плотность сопряженного сигнала.

Как следует из последней формулы, спектральная плотность комплексной огибающей сопряженного сигнала.

Следовательно, узкополосному сигналу соответствует также узкополосный сопряженный сигнал.

В последние годы методы, связанные с понятием аналитического сигнала и преобразованиями Гильберта, имеют широкое распространение в теории связи.