Подстановка Больцмана и метод Матано-Больцмана

некоторых случаях удаётся свести Ур.1 к простому дифференциальному.

х

П = ~г

Рис. 2. Концентрационные профили в при экспоненциальной зависимости коэффициента диффузии от концентрации D=D₀exp (kC/Co): а — сорбция, б — десорбция. Значения е*: 2 (г), 5 (2), 50 (3), 95 (4), 200 (5).

Тогда уравнению, если воспользоваться подстановкой Больцмана.

откуда.

 — простое дифференциальное уравнение в терминах С и ц.

Подстановка Больцмана возможна только при диффузии из полуобесконечного пространства, при диффузии из полуограниченного равномерно насыщенного диффузантом тела со связывающей границей и при диффузии из постоянного источника в иолуограниченную среду. Критери;

C-cfi].

ем применимости подстановки Больцмана является условие которое в явном виде можно представить следующим образом ^ ^{= ау}^, где а — функция только концентрации С.

В трёх случаях возможна подстановка Больцмана:

1. Диффузия из полубесконечного пространства.

2. Диффузия из равномерно насыщенного тела со связывающей границей.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

3- Диффузия из постоянного источника.

Поскольку в ходе эксперимента конкретное распределение диффузанта устанавливается за постоянное время (t=const), то.

интегрируя это уравнения по х, имеем и т. к Переставляя пределы интегрирования, находим.

Эта формула лежит в основе метода обработки результатов диффузионного эксперимента (техника продольного среза), называемого способом Матано-Больцмана. Несмотря на внешнюю простоту, его применение наталкивается на серьёзные трудности, связанные с необходимостью гра;

Мс,).

фического дифференцирования (нахождение производной dC _в точке С, и интегрирования (нахождение

При диффузии из постоянного источника в полубесконечную среду, концентрационный поосЬиль имеет вид:

Если время эксперимента t=Const, то, переходя от д: к t, окончательно получим

Задачи нахождения С (х) при Дх) и ДС) аналогичны друг другу: всегда найдётся такое распределение С (лг), которое можно описать, как функцией Дх), так и ДС). При табулировании С (х) при ДС), сначала задают функцию Т (х) и, решая (l) находят 0(лг). Зная С (х) и Т (х) (т.е. Дх)), находят ДС), которому соответствует это С. При этом Ур. з удобно переписать в виде:

Проблема ДО тесно связана с проблемой Дх): для некоторой функции ДО всегда найдётся такая Дх), для которой концентрационный профиль будет точно таким же, как при ДОРазличить эти два случая по данным одного эксперимента невозможно. Для дискриминации моделей проводят эксперименты при различных временах диффузии, и каждый раз.

формально рассчитывают ДОЕсли D не зависит от времени диффузии, то координатная зависимость коэффициента диффузии отсутствует.

Рис. 3. Рассчитанные профили концентрации (В) при различных типах зависимостей коэффициентов диффузии от концентрации (Б) и от координаты (А).