Классификация фракталов. 
Моделирование фрактальных структур в природе и обществе

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» .

На сегодняшний день существует много различных математических моделей фракталов (треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта и лоренцевы аттракторы). Отличительная особенность каждой из них является то, что в их основе лежит какая-либо рекурсивная функция, например: x_i=f (x_i-1). С применением ЭВМ у исследователей появилась возможность получать графические изображения фракталов. Простейшие модели не требуют больших вычислений, тогда как иные модели более требовательны к мощности компьютера.

Для того чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов: геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Геометрические фракталы были открыты в начале ХХ века. В этот период математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М. Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую (Рис 2.1−2.2):

Рис 2.1 Снежинка Коха

Рис 2.2 Построение кривой Коха

Триадная кривая Коха обладает рядом свойств, отличающих ее от ранее известных прямых. Во-первых, эта кривая не имеет длины, т. е. с числом поколений ее длина стремится к бесконечности. Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную — каждая ее точка является точкой перегиба, в которой производная не существует, — эта кривая негладкая.

Длина и гладкость — фундаментальные свойства кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и геометрией Лобачевского. К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы. Именно с этого времени ученые начали сомневаться в универсальности традиционной геометрии.

Еще один пример простого самоподобного фрактала — ковер Серпинского (Рис 3.1−3.2), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. В способе построения мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти:

Рис 3.1 Ковер Серпинского

Рис 3.2 Построение ковра Серпинского

Ковер Серпинского может быть построен как для равностороннего треугольника, так и для квадрата. В данной курсовой работе представлено еще несколько геометрических фракталов (Рис 4.1−4.3):

Рис 4.1 Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций

Рис 4.2 Дерево после 5-ти итераций

фрактал геометрический алгебраический стохастический.

.

Рис 4.3 Квадрат Госпера после 2-х итераций