Электрические фильтры. 
Электроника

Электрическим фильтром называется устройство, служащее для выделения (или подавления) электрических напряжений или токов заданной частоты. Фильтры могут быть пассивными, состоящими только из пассивных L, С, R элементов, и активными, если в их схеме имеются усилительные элементы.

В зависимости от диапазона частот и требуемых характеристик фильтры могут быть выполнены как: 1) пассивные 1С-фильтры и ЙС-фильтры, составленные из резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов; 2) пьезоэлектрические, электромеханические, магнитострикционные фильтры, которые аналогичны /Х-фильтрам с чрезвычайно малыми потерями; электромеханические фильтры могут работать на частотах от нескольких десятков герц до нескольких мегагерц, магнитострикционные — от нескольких килогерц до нескольких сотен килогерц, пьезоэлектрические — от нескольких сотен герц до десятков мегагерц; 3) активные LC- и ЯС-фильтры, которые обычно применяются на ультразвуковых, звуковых и инфразвуковых частотах.

Основные характеристики фильтра — ширина полосы пропускания и избирательность. По характеру полосы пропускаемых частот фильтры делятся на шесть видов: 1) фильтры нижних частот (ФНЧ), пропускающие колебания всех частот, начиная от постоянного тока и кончая.

Рис. 3.24. Амплитудно-частотные характеристики фильтров: нижних частот — ФНЧ (а) верхних частот — ФВЧ (б) полосопропускающих — ФПП (в) режекторных — РФ (г); гребенчатых — ГПФШ и режекторных гребенчатых — РГФ (е) некоторой верхней граничной частотой о)_в (рис. 3.24, a); 2) фильтры верхних частот (ФВЧ), пропускающие колебания, начиная с некоторой нижней граничной частотой со, и кончая бесконечно высокой (рис. 3.24,5); 3) полосовые фильтры (ФПП), пропускающие колебания частот выше некоторой нижней частоты со, и ниже верхней частоты со" (рис. 3.24, в); 4) режекторные (заграждающие) фильтры (РФ), не пропускающие колебаний некоторой частоты или полосы частот от со, до со, (рис. 3.24, г); 5) гребенчатые фильтры (ГГ1Ф), имеющие несколько полос пропускания (рис. 3.24, д); 6) режекторные гребенчатые фильтры (РГФ) (рис. 3.24, е).

При этом под полосой пропускания в случае фильтра нижних частот понимается диапазон частот от нуля до некоторой граничной частоты со", на которой коэффициент передачи фильтра по напряжению составляет 0,707 от коэффициента передачи К₀ на нулевой частоте (рис. 3.25, а) (т. е. оказывается меньше К₀ на 3 дБ).

Фильтр, помимо полосы пропускания, имеет полосу подавления, в которой коэффициент передачи имеет весьма малое, но конечное значение. Между полосами пропускания и подавления имеется переходный участок, простирающийся от частоты (0_В до частоты 0)," считающейся частотой начала эффективного подавления. На частоте со_п коэффициент передачи на 3 дБ больше, чем в среднем в полосе подавления. Подобным образом рассматриваются зависимости коэффициентов передачи от частоты и у всех остальных видов фильтров: в них также есть полосы пропускания и подавления и переходные участки между ними (рис. 3.25, б).

Рис. 3.25. Полосы пропускания и подавления фильтра нижних частот (а) и полосопропускающего фильтра (б)

Избирательность — мера разрешающей способности фильтра, т. е. его способность разделять два колебания (или две группы колебаний), частоты которых близки. Количественно мера избирательности фильтра, А отображается крутизной спада коэффициента передачи /С (ш) на переходном участке. Обычно крутизна спада оценивается в логарифмических единицах, дБ/окт:

где оо₂ = 2 со, (или о), = 2 ш₂).

Пассивные фильтры собираются из /?/, С-элементов. Резистор R — элемент, рассеивающий энергию проходящего через него тока в виде тепла. Если через резистор проходит ток /, то в соответствии с законом Ома на нем падает напряжение: U = IR.

Индуктивная катушка L — реактивный элемент, накапливающий энергию в виде магнитного поля. Если через катушку индуктивности проходит ток, то на ней падает напряжение:

а ток может быть выражен формулой:

Конденсатор Стакже реактивный элемент, способный накапливать энергию в электрическом поле. Связь между током I и падением напряжения Uс на конденсаторе:

Если через элементы R, L, С проходит произвольный ток /(?), то падение напряжения на каждом элементе:

Если ток синусоидален и его амплитуда /₀ и частота о₀ постоянны, то его можно представить в комплексной форме:

При этом.

где Z_L = jwL — индуктивное реактивное сопротивление; Z_c = l/(fa> — емкостное реактивное сопротивление.

Полученные выражения позволяют относительно просто определять частотные характеристики пассивных электрических цепей и фильтров.

Пусть, к примеру, имеется цепь, составленная из последовательно соединенных элементов R, LnC (рис. 3.26, а). При произвольном воздействии (/_вх(?) в цепи протекает ток /(?)• На основании закона Кирхгофа может быть составлено уравнение этой цепи.

Выходной сигнал при этом определяется как Если входной сигнал синусоидален:

откуда можно определить ток:

Поэтому коэффициент передачи.

где Из этих выражений следует, что для отыскания коэффициента передачи цепи — ее амплитудно-фазовой характеристики, определяемой при синусоидальном входном воздействии, нет необходимости составлять и решать интегрально-дифференциальное уравнение цепи, для этого индуктивность и емкость должны быть заменены эквивалентными сопротивлениями Z_L и Z_c (рис. 3.26,6), что позволяет сразу составить уравнения:

и наити В общем случае амплитудно-фазовая характеристика линейной электрической цепи представляет собой рациональную функцию оператора р = /со, которая принимает вещественные значения при вещественных значениях переменного. Это позволяет разложить K (j (o) на линейные множители и записать в виде:

где k₀ — постоянный вещественный множитель;p₀i> Ап" …"Aw «„нули“ — корни полинома, при которых К (р) имеет нулевые значения; р_т; р_П2,…» p_nN — «полюсы» — корни полинома, при которых К (р) имеет бесконечное значение.

Рис. 3.26. Электрическая цепь из LC-элементов^а^ и ее эквивалентная схема для синусоидального входного напряжения (б).

Полюсы и нули могут быть вещественными или комплексными попарно сопряженными или теми и другими одновременно, но они совершенно однозначно (с точностью до постоянного множителя k₀) определяют амплитудно-фазовую характеристику электрической цепи и позволяют судить об ее особенностях.

В частности, количество полюсов определяет крутизну спада коэффициента передачи на переходном участке (рис. 3.25, а). Например, если имеется однозвенный /?С-фильтр (состоящий из одного резистора и одного конденсатора), то амплитудно-фазовая характеристика имеет один полюс и крутизна спада на переходном участке составляет 6 дБ/окт. Два идентичных однозвенных фильтра, включенных последовательно и разделенных усилителем-повторителем (с высоким входным и низким выходным сопротивлениями, что устраняет нежелательное воздействие фильтров друг на друга), имеют коэффициент передачи с двумя полюсами и обеспечивают крутизну спада в переходной области, равную 12 дБ/окт.

Для фильтра с JV-полюсами (или фильтра АГ-го порядка) у коэффициента передачи в переходной области крутизна спада увеличивается в N раз и составляет N 6 дБ/окт. При этом, как правило, число полюсов соответствует числу примененных в фильтре реактивных элементов: конденсаторов или катушек индуктивности.

Приведенные на рис. 3.25 и 3.26 амплитудно-частотные характеристики фильтров идеализированы и в какой-то мере справедливы лишь для фильтров первого порядка. В фильтрах более высоких порядков амплитудно-частотные характеристики в полосе пропускания могут иметь существенные неравномерности (обычно в виде колебаний, осцилляций), что необходимо учитывать при фильтрации сигналов со сложным спектром. Помимо этого необходимо учитывать и фазовочастотные характеристики фильтров, ибо их нелинейность приводит к различному времени запаздывания составляющих разных частот в сигнале и, как следствие, — к искажению формы сигнала.

Поэтому для каждого конкретного случая фильтрации имеется свой наиболее подходящий фильтр, позволяющий максимально эффективно избавиться от помех («отфильтровать» их) при минимальных искажениях формы или спектра полезного сигнала, т. е. фильтр должен быть не просто фильтром нижних или верхних частот, полосовым или режекторным, но и иметь заданную амплитудно-фазовую характеристику, определяемую параметрами подлежащего фильтрации сигнала.

Таким образом, речь идет о синтезе фильтров с заданными свойствами, задаче весьма сложной, не всегда однозначной, имеющей в общем случае множество решений.

Однако, к счастью, для большинства наиболее важных на практике случаев амплитудно-фазовая характеристика фильтра может быть выбрана из почти стандартного набора, состоящего в первую очередь из фильтров Баттерворта (обеспечивающих наиболее плоскую амплитудно-частотную характеристику в полосе пропускания); Чебышева (имеющих наибольшую крутизну спада в переходной области); Бесселя (обладающих практически линейной фазово-частотной характеристикой в полосе пропускания); эллиптических (имеющих очень крутой спад амплитудно-частотной характеристики K (iо) на переходном участке, но имеющих также весьма большие неравномерности К (со) как в полосе пропускании, так и в полосе подавления); параболических (обеспечивающих минимальные искажения импульсных сигналов), обратных фильтров Чебышева (амплитудно-частотная характеристика которых в полосе пропускания почти так же равномерна, как и у «прямых» фильтров Чебышева, но имеет большие осцилляции в полосе подавления).

Наиболее широко в настоящее время используют первые три вида фильтров. На рис. 3.27, а для сравнения даны амплитудно-частотные характеристики 6-полюсных фильтров нижних частот: простейшего ЯС-фильтра (обозначенного RC), фильтра Бесселя (Бс.), фильтра Баттерворта (Бт.) и фильтра Чебышева (Че.).

Фильтры Баттерворта имеют наиболее плоскую частотную характеристику в полосе пропускания, определяемую аналитическим выражением.

где N — число полюсов (порядок фильтра).

Влияние числа полюсов на крутизну спада амплитудно-частотной характеристики фильтра нижних частот Баттерворта приведено на рис. 3.27, б. Крутизна спада К{со) на переходном участке определяется выражением Д (ш) = 20N lg a"/co". Фильтры Чебышева обеспечивают очень большую крутизну спада частотной характеристики на переходном участке (рис. 3.27, а), но в полосе пропускания может быть существенная нелинейность в виде осцилляций (выбросов и впадин), глубина которых может быть уменьшена, но за счет уменьшения крутизны спада.

Аналитически коэффициент передачи фильтров Чебышева выражается формулой:

где С" — полином Чебышева первого рода, степени и; 8 = О-s-l — постоянная, определяющая затухание фильтра, и, тем самым, осцилляции и крутизну спада на переходном участке.

Крутизна спада К ((о) на переходном участке:

Максимальная неравномерность в полосе пропускания также определяется коэффициентом затухания 8. Если допустимы пульсации 3 дБ (г. е. 30%), то 8 = 0,9976; если пульсации должны составлять 0,5 дБ, то 8 = 0,3493.

Следует заметить, что наличие осцилляции в полосе пропускания вполне допустимо во многих случаях, особенно когда конечный итог фильтрации — спектр некоторого сигнала, составляющие которого затем обрабатываются по отдельности. Однако, чем больше неравномерна амплитудно-частотная характеристика (чем более круто она спадает на переходном участке), тем более нелинейна фазово-частотная характеристика и тем больше искажается форма усиливаемого сигнала.

На рис. 3.27, в приведены для сравнения переходные характеристики для трех типов 6-полюсных фильтров (полученные при подаче на их входы напряжения в виде единичной функции о (Г)). При этом все фильтры имеют примерно одинаковые полосы пропускания и коэффициенты затухания (рис. 3.27, а). Из рассмотрения этого рисунка вполне очевидно, что минимальные искажения формы сигнала вызывает фильтр Бесселя (Бс.), у которого выброс на плоском участке практически не виден (ибо составляет -0,5%). У фильтра Баттерворта (Бт.) выброс -10%, у фильтра Чебышева (Че.) он составляет.

Рис. 3.27. Амплитудно-частотные характеристики шестиполосных фильтров нижних частот (а) зависимость крутизны спада от числа полюсов (б); амплитудно-частотные характеристики фильтров верхних частот (в).

6олее20%, что совершенно недопустимо искажает форму сигналов прямоугольной формы. Амплитудно-частотная характеристика фильтра Бесселя на переходном участке аппроксимируется функцией вида:

Практически любой многополюсный фильтр может иметь амплитудно-частотную характеристику фильтра Баттерворта, Чебышева или Бесселя (или любую другую) в зависимости от выбора значений параметров его /?1С-компонентов.

Контрольные вопросы

• 1. Определите коэффициент передачи последовательной RLC-цепи (рис. 3.26), если в качестве выходного напряжения берется падение напряжения: а) на конденсаторе; б) на индуктивности.
• 2. Попытайтесь разложить полученные выше выражения для частотных характеристик фильтров на линейные множители и определить «полюсы» и «нули».
• 3. Как изменится форма прямоугольного импульса длительностью 1 с, имеющего амплитуду 1 В, прошедшего через фильтры нижних частот Бесселя, Чебышева и Баттерворта (рис. 3.27, а)?