Возникновение пластических деформаций на внутренней поверхности тела (гт = а)

В данном случае с ростом разности давлений р = р_а— р_ь пластическая зона распространяется в глубь стенки цилиндра или шара. Обозначим неизвестный пока радиус цилиндрической поверхности или сферы, разделяющей упругую и пластическую зоны, через г₀. Подставляя решения (7.27) и (7.28) или (7.29) и (7.30) в условия (7.34) и в первые два равенства (7.35), можно получить четыре соотношения для определения констант С, C_v D и r₀, одно из которых будет трансцендентным:

Входящие сюда параметры 6 и ц — те же, что указаны для цилиндра и шара после формул (7.24) и (7.31).

Поскольку уравнение (7.36) разрешено относительно р, то, задаваясь различными значениями г₀ на интервале (й, !>), можно построить зависимость р (г₀), из которой для любого значения р = р_и — р_ь определяется искомый радиус г₀. После этого легко находятся константы С, С₂ и D:

Таким образом, напряженное упруго-пластическое состояние толстостенных цилиндра и шара в рассматриваемом случае (г_т = а) удается определить без использования третьего граничного условия из (7.35). Оно необходимо при определении перемещений, которые в упругой зоне равны ^ие^{= а ?}йг определяется из закона Гука. Проделав соответствующие выкладки, получим:

• 3 С, а¹
• • цилиндр: и_е = ——;
• 4?"г

С, а³

• шар: —-₂.

Щг

В пластической зоне, интегрируя условие несжимаемости материала.

найдем.

Константа интегрирования В определяется из третьего граничного условия (7.35):

что позволяет написать единую формулу для перемещений в упругой и пластической зонах.