Правила вывода (определения модальности заключения)

(МСВ) Пусть из рассматриваемых посылок следует общее или частное ассерторическое заключение и произведение модальных знаков на исключаемой ветви заключения противоречиво.

Тогда:

• 1. Если в верхней части дерева доказательства в качестве исключающих знаков стоят Do или «о», то знак модальности заключения
• (общего или частного) совпадает со знаком исключения в нижней части дерева.
• 2. Если в верхней части дерева доказательства в качестве исключающего знака стоит Оо, а в нижней части дерева — Do, «о», или Оо, то знак модальности заключения (общего или частного) равен 0.
• 3. Если заключение, модальность которого требуется определить, не следует из ассерторических посылок или произведение модальных знаков на исключаемой ветви заключения не образует противоречия, тогда рассматриваемый модальный силлогизм решения не имеет.

При решении силлогизмов с модальными знаками? и ^А используются деревья посылок, изображенные на рис. 9.7—9! 10 в качестве дополнительных правил создания деревьев.

Докажем для демонстрации наиболее интересные модальные силлогизмы, относящиеся к модусу Barbara первой фигуры.

Пример 1.

• ? Все А есть В.
• ?Все В есть С.
• ? Все А есть С.

Объяснение. Заключение «Все А есть С» необходимо следует из посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности заключения.

Знак ветви А С равен сумме знаков ветвей АВС и А-лВС соответственно. Ветвь ASC необходимо ложная, так как ее верхняя часть A-iB отмечена знаком Do. Значит, знак ветви Л С равен результату произведения знаков ветвей АВ и ВС: [?+] х [?+] = ?+.

Знак ветви А-лС равняется сумме знаков ветвей АВ-*С и A-yB-iC. Ветвь A-iB->C необходимо ложная. Поэтому знак ветви Л-nC равен результату произведения знаков ветвей АВ и В-.С: [?+] х [По] — ?.

Знаки ветвей Л С и Л-iC вместе гарантируют, что заключение в этом силлогизме будет необходимым.

Пример 2.

? Все А есть В. Все В есть С.

Все А есть С.

Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности заключения.

Знак ветви Л С равен сумме знаков ветвей АВС и Л-iBC. Ветвь Л->ВС необходимо ложная, так как ее часть А-лВ отмечена знаком Do. Значит, знак ветви АС равен результату произведения знаков ветвей АВ и ВС: [?+] х [+] - ?+.

Знак ветви Л-iC равняется сумме знаков ветвей АВ-лС и Л-чВ-iC. Ветвь Л-тВ-чС необходимо ложная. По этой причине знак ветви Л-iC равен результату произведения знаков ветвей АВ и В-.С: [?+] х [о] = ?.

Знаки ветвей Л С и Л-iC вместе гарантируют, что заключение в этом силлогизме может быть только ассерторическим.

Пример 3.

Все А есть В.

• ?Все В есть С.
• ?Все Л есть С.

Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из посылок «Все Л есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности заключения.

Знак ветви Л С равен сумме знаков ветвей АВС и А-лВС. Ветвь А-лВС фактически ложная, так как ее часть Л-чВ отмечена знаком «о». Значит, знак ветви АС равен результату произведения знаков ветвей АВ и ВС [+]х [?+] = ?+.

Знак ветви А-лС равен сумме знаков ветвей АВ-уС и А-уВ-уС. Ветвь A-iB-iC фактически ложная. Поэтому знак ветви A-iC равен результату произведения знаков ветвей АВ и В-уС: [+] х [По] = ?.

Знаки ветвей АС и А-уС вместе гарантируют, что заключение в этом силлогизме будет необходимым.

Пример 4.

ОВсе А есть В.

ОВсе В есть С.

ОВсе А есть С.

Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим знак модальности заключения.

По допущению, знак ветви, к которой относится субъект заключения, необходимо истинный. Знак ветви АС равен сумме знаков ветвей АВС и А-лВС. Ветвь А-уВС возможно ложная, так как ее верхняя часть A-iB отмечена знаком Оо. Знак ветви АС равен результату произведения знаков ветвей АВ и ВС_} сложенному со знаком возможной ложности ветви AS: {[?+] х [0+] = ?+} + Оо = Оо.

Знак ветви А->С равен сумме знаков ветвей АВ-уС и AS-уС. Ветвь А-лВ-уС возможно ложная и знак ветви Л-«С равен результату произведения знаков ветвей АВ и В-уС, сложенному со знаком возможной ложности ветви AS: {[?+] х [Оо] = ?} + Оо = Оо.

Знаки ветвей Л С и А-уС вместе гарантируют, что заключение в этом силлогизме может быть только проблематичным.

Пример 5.

ОВсе Л есть В.

Все В есть С.

ОВсе Л есть С.

Объяснение. .

Заключение

«Все А есть С» необходимо следует из посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности заключения.

По допущению, знак ветви, к которой относится субъект заключения, необходимо истинный. Знак ветви АС равен сумме знаков ветвей АВС и А-^ВС. Ветвь А-лВС возможно ложная, так как ее верхняя часть А-, В отмечена знаком Оо. Знак ветви АС равен результату произведения знаков ветвей АВ и ВС, сложенному со знаком возможной ложности ветви А-В: {[?+] х [+] = ?+} + Оо = ?+.

Знак ветви А-лС равен сумме знаков ветвей АВ~>С и A-iB-iC. Ветвь Л-iB-iC возможно ложная. Знак ветви А-лС равен результату произведения знаков ветвей АВ и В-.С, сложенному со знаком возможной ложности ветви А-лВ: {[?+] х [о] - ?} + Оо = Оо.

Знаки ветвей Л С и А-лС вместе гарантируют, что заключение в этом силлогизме является проблематичным.

Пример 6.

Все А есть В.

ОВсе В есть С.

Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из посылок «Все Л есть В» и «Все В есть CV, но модальный силлогизм решения не имеет. Причина этого в том, что произведение знаков ветвей ЛВ и В-пС не создает противоречия. Следовательно, согласно правилу вывода МСВ (3), решения нет.

?Все А есть В.

ОВсе В есть С.

О Все А есть С.

Объяснение. Заключение «Все А есть С» необходимо следует из посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим вид модальности заключения.

Знак ветви АС равен сумме знаков ветвей АВС и А-лВС. Ветвь A—iBC необходимо ложная, так как ветвь А-лВ отмечена знаком Do. Следовательно, знак ветви АС равен результату произведения знаков ветвей АВ и ВС [?+] х [0+] = ?+.

Знак ветви A-iC равен сумме знаков ветвей AB-iC и А-лВ-лС. Ветвь AS->C необходимо ложная. Значит, знак ветви А-*С равен результату произведения знаков ветвей АВ и В-уС [?+] х [0о] ;

Знаки ветвей АС и А-лС вместе гарантируют, что заключение в этом силлогизме может быть только проблематичным.

Пример 8.

• 0 Все А есть В.
• ?Все В есть С.

ОВсе А есть С.

Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из посылок «Все А есть Б» и «Все В есть С». Определим вид модальности заключения.

По допущению, знак ветви, к которой относится субъект заключения, необходимо истинный. Знак ветви АС равен сумме знаков ветвей.

АВС и A->BC. Ветвь A-^BC возможно ложная, так как ее часть А-В отг мечена знаком Оо. Значит, знак ветви АС равен результату произведения знаков ветвей АВ и ВС, сложенному со знаком возможной ложности ветви А-лВ {[?+] х [?+] = ?+} + Оо = 0+.

Знак ветви А-лС равняется сумме знаков ветвей ЛВ-.С и А^В-лС. Ветвь A-iB-xC возможно ложная. Значит, знак ветви А-лС тождествен результату произведения знаков ветвей АВ и В-*С, сложенному со знаком возможной ложности ветви А-^В: {[?+] х [Do] = ?} + Оо? Оо.

Знаки ветвей Л С и Л-iC вместе гарантируют, что заключение в этом силлогизме может быть только проблематичным.

Пример 9.

• ?Все А есть В.
• ? Все В есть С.

О Все А есть С.

Объяснение. Заключение «Все А есть С» необходимо следует из посылок «Все А есть В>> и «Все В есть С*. Определим вид модальности заключения.

По определению, суждение "? Все В есть С" эквивалентно конъюнкции противоречащих друг другу проблематических суждений «О Все В есть С» и «О Некоторые В не есть С». Есть две возможности, для анализа каждой из которых построены два дерева с одинаковой вершиной А. Присоединение суждения «О Все В есть С» к первой посылке позволяет вывести заключение «О Все А есть С», присоединение суждения «О Некоторые В не есть С» к этой же посылке никакого заключения не дает. Следовательно, из указанных посылок может следовать только проблематическое заключение.

? Все А есть В. ?Все В есть С.

О Все А есть С.

Объяснение. Заключение «Все Л есть С» необходимо следует из посылок «Все А есть В» и «Все В есть С». Определим знак модальности заключения.

По определению, суждение "? Все В есть С>> эквивалентно конъюнкции противоречащих друг другу проблематических суждений «О Все В есть С» и «О Некоторые В не есть С». Для анализа каждой из двух возможностей сконструированы два дерева с одинаковой вершиной А. Присоединение суждения «О Все В есть С» к первой посылке позволяет вывести заключение «О Все А есть CV, присоединение суждения «О Некоторые В не есть С» к этой же посылке никакого заключения не дает. Следовательно, из указанных посылок может следовать только проблематическое заключение.

Приведем без доказательства, сделать которое предоставляется читателю, два дополнительных силлогизма с контрадикторно случайными посылками:

Все А есть В. т Все А есть С.

т Все В есть С. Все В есть С.

? О Все А есть С.

Пример 11.

т Все А есть В.

? Все В есть С.

О Все А есть С.

Объяснение. По определению, суждение "? Все А есть В" эквивалентно конъюнкции противоречащих друг другу проблематичных суждений «О Все Л есть В» и «О Некоторые А не есть В». Аналогично суждение "? Все В есть С" эквивалентно конъюнкции противоречащих друг другу проблематичных суждений «О Все В есть С» и «О Некоторые В не есть С*. Это объясняет, почему приведены два силлогистических дерева с одинаковой вершиной А. Первое соответствует суждению *0 Все А есть В», второе — суждению «О Некоторые А не есть В». Так как термин А — субъект заключения, то ветви АВ и A—iB получают знак ?+. По правилам для силлогистических деревьев продолжению подлежат только ветви, отмеченные каким-нибудь разрешающим знаком (в данном примере — знаком ?+). При построении второго дерева суждение «О Некоторые А не есть В» было превращено в суждение «О Некоторые А естьIВ». Суждение «т Все В есть С» сначала было противопоставлено в суждение «О Все ~, С есть ОБ» и затем обращено в суждение «О Некоторые -.В есть -.С». Однако появление знака неопределенности в нижней части дерева делает вывод заключения из данного дерева неопределенным. По правилу МСВ (2) из первого дерева следует суждение «О Все А есть С».

Пример 12

^ж Все А есть В.

^А Все В есть С.

Все А есть С.

Объяснение. По определению, суждение «•* Все, А есть В» эквивалентно конъюнкции противоположных друг другу проблематических суждений «О Все А есть В» и «О Ни одно А не есть В». Аналогично суждение " ^А Все В есть С" эквивалентно конъюнкции противоположных и проблематичных суждений «О Все В есть С» и «О Ни одно В не есть С». Из истинности суждения «О Все А есть В» следует истинность подчиненного ему суждения «О Некоторые А есть В». Это объясняет, почему потребовалось два силлогистических дерева с одинаковой вершиной А. Верхней части первого дерева соответствует суждение «О Все А есть В», а верхней части второго дерева — «О Некоторые А есть В». Так как термин А выступает субъектом заключения, то ветвь АВ в обоих деревьях получает знак ?+. Вывод из обеих частей дерева совершается по правилу МСВ (2). Из первого дерева следует заключение «О Все А есть С». Из второго дерева — заключение «О Некоторые А не есть С». Значит, верна и их конъюнкция, т. е. .

заключение

«т Все А есть С».

Пример 13

^А Все А есть В.

^л Все В есть С.

^А Все А есть С.

Объяснение. По определению, суждение «^А Все А есть В» эквивалентно конъюнкции противоположных друг другу суждений «О Все, А есть В» и «О Ни одно, А не есть В». Аналогично суждение «^А Все В есть.

С" эквивалентно конъюнкции суждений «О Все В есть С» и «О Ни одно В не есть С». Это объясняет, почему потребовалось два силлогистических дерева с одинаковой вершиной А. Первое соответствует суждению «О Все А есть В», второе — «О Ни одно А не есть В». Так как термин А — субъект заключения, то ветвь АВ в обоих деревьях получает знак ?+. Вывод из обоих деревьев совершается по правилу МСВ (2). В качестве заключения из первого следует суждение «О Все А есть С», из второго — «О Ни одно А не есть С». Значит, справедлива и их конъюнкция Все А есть С".

Пример 14.

?Все А есть В.

Все В есть С.

^А Все А есть С.

Объяснение. Суждение Все В есть С* по определению эквивалентно конъюнкции противоположных проблематичных суждений «О Все В есть С» и «О Ни одно В не есть С». По этой причине требуется два силлогистических дерева. Первое включает суждение «0 Все В есть С», второе — «О Ни одно В не есть С». Вывод из обоих деревьев совершается по правилу МСВ (1). В качестве заключения следует как суждение «0 Все А есть С» (первое дерево), так и суждение «О Ни одно А не есть С» (второе дерево). Их конъюнкция дает общее заключение «?* Все Л есть С».

Пример 15.

^А Все А есть В.

?Все В есть С.

^А Все А есть С.

Объяснение. По определению, суждение «^А Все А есть В» эквивалентно конъюнкции противоположных проблематичных суждений «О Все А есть В» и «О Ни одно А не есть В». По этой причине требуется два силлогистических дерева. Первое соответствует суждению «О Все А есть В», второе — «О Ни одно Л не есть В». Так как термин А — субъект заключения, то ветви АВ и A-iB получают знак ?+. Для завершения первого дерева никаких преобразований второй посылки не понадобилось. Во втором дереве эту посылку оказалось нужным противопоставить. Появление знака неопределенности в нижней части дерева сделало вывод из второго дерева неопределенным. Поэтому согласно правилу МСВ (2) из указанных посылок может следовать только заключение «О Все А есть С».

Приведем без доказательства, осуществить которое предоставляется читателю, несколько дополнительных силлогизмов со смешанными посылками:

^А Все А есть В. Все А есть С.

Все В есть С. ^А Все В есть С.

О Все А есть С. ?

^А Все А есть В.? Все А есть С.

О Все В есть С. ^А Все В есть С.

О Все А есть С. ^А Все А есть С.

^А Все А есть В. ОВсе А есть С.

ОВсе В есть С. ^А Все В есть С.

ОВсе А есть С. ^А Все А есть С.

Упражнения.

I. Докажите следующие теоремы:

• 1. D-.P"-D (P Э-.Р)
• 2. СЬР н? (Р э Р)
• 3. ОРьОРэО (Р& Q)
• 4. bO (Pz>Q) = (DPz)OP)
• 5. D (D (Pd DP) d DP) к (ОПРэ DP)
• 6. D (P = P) ь D ([]P s DP)
• 7. hO (OP&-, P) vD (PdDQ)
• 8. h (O-iP v OOQ) v 0(P v Q)
• 9. Ph (0CDP dDP)
• 10. i-C3(D (PdQ)vD (DQdP)
• 11. hDOP s DODOP

II. Докажите следующие силлогизмы:

?Все Л есть В.

Ни одно В не есть С.

Ни одно Л не есть С.

?Все А есть В.

Ни одно В не есть С.

Ни одно А не есть С.

?Некоторые А есть В.

Ни одно В не есть С. Некоторые А не есть С.

?Некоторые А есть В. т Ни одно В не есть С.

т Некоторые А нс есть С.

• ?Ни одно А не есть В. Все С есть В._
• ?Ни одно А не есть С.
• ?Все В есть Л.

Все В есть С._.

?Некоторые Л есть С.

Некоторые Л есть С. ?Все В есть С._.

?Некоторые Л есть С.

Некоторые Л есть С. ?Все В есть С._.

?Некоторые Л есть С.

ОНекоторыс Л есть С.

Ни одно В не есть С.

ОНекоторые Л не есть С.

• ? Некоторые Л есть С.
• ? Ни одно В не есть С.

т Некоторые Л не есть С.

ОВсс Л есть В.

Ни одно С не есть В.

ОНи одно Л не есть С.

ФВсе В есть Л.

Все В есть С. ОНекоторые Л есть С.