Статистические методы моделирования систем

Характеризуется основной понятийный аппарат статистических методов, особенности и возможности применения. Рассматриваются направления, возникшие на базе статистических представлений: теория математической статистики, статистические закономерности и их применение, теория статистических испытаний или статистического имитационного моделирования, теория выдвижения и проверки статистических гипотез А. Вальда. Кратко излагаются элементы теории массового обслуживания.

Основной понятийный аппарат статистических методов

Статистические представления сформировались как самостоятельное научное направление в середине XIX — начале XX в., хотя возникли значительно раньше. Они базируются па теории вероятностей, которая имеет достаточно длительную историю становления и сформировалась в самостоятельное направление в XVI в. (Б. Паскаль, П. Ферма), а вскоре вероятностные модели стали использоваться при обработке статистических данных.

Важный вклад в теорию вероятностей внес Я. Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX в. теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; П. Лаплас и С. Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX в. основной вклад внесли П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной А. II. Колмогоровым.

Основу статистических методов составляет отображение явлений и процессов с помощью случайных (стохастических) событий и их поведений, которые описываются соответствующими вероятностными (статистическими) характеристиками и статистическими закономерностями.

Термин " стохастические" уточняет понятие «случайный», которое в обыденном смысле принято связывать с отсутствием причин появления событий, с появлением не только повторяющихся и подчиняющихся каким-то закономерностям, но и единичных событий. Процессы же, отображаемые статистическими закономерностями, должны быть жестко связаны с заранее заданными, определенными причинами, а «случайность» означает, что они могут появиться или не появиться при наличии заданного комплекса причин.

Статистические отображения системы в общем случае (по аналогии с аналитическими) можно представить символическим образом, как бы в виде «размытой» точки (размытой области) в замерном пространстве, в которую переводит учитываемые в модели свойства системы оператор Ф|5Х| (рис. 3.1). Границы области заданы с некоторой вероятностью рх («размыты»), и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Рис. 3.1.

Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, получим срез по линии а—b, смысл которого — воздействие данного параметра на поведение системы, которое можно описать статистическим распределением по этому параметру, одномерной статистической закономерностью. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т. д. картины статистического распределения.

Статистические закономерности можно представить в виде дискретных случайных величин и их вероятностей или в виде непрерывных зависимостей распределения событий, процессов.

Для дискретных событий соотношение между возможными значениями случайной величины х} и их вероятностями pi называют законом распределения и либо записывают в виде ряда (табл. 3.1), либо представляют в виде зависимостей F (x) (рис. 3.2, а) или р (х) (рис. 3.2, в).

Таблица 3.1. Закон распределения

Рис. 3.2.

При этом.

Для непрерывных случайных величин (процессов) закон распределения представляют (соответственно дискретным законам) либо в виде функции распределения (интегральный закон распределения — рис. 3.2, б), либо в виде плотности вероятностей (дифференциальный закон распределения рис. 3.2, г).

В этом случае.

где р (х) — вероятность попадания случайных событий в интервал от х до х + Ах.

Закон распределения является удобной формой статистического отображения системы.

Однако получение закона (даже одномерного) или определение изменений этого закона при прохождении через какие-либо устройства или среды представляет собой трудную, часто невыполнимую задачу. Поэтому в ряде случаев пользуются не распределением, а его характеристиками — начальными и центральными моментами.

Наибольшее применение получили:

1) 1-й начальный момент — математическое ожидание или среднее значение случайной величины:

2) 2-й центральный момент — дисперсия случайной величины:

Для полной группы несовместных событий имеют место условия нормирования: функции распределения

и плотности вероятности

В монографиях и учебниках применяют тот или иной вид зависимостей, приведенных на рис 3.2, более подходящий для соответствующих приложений.

На практике иногда используется не дисперсия а|, а среднее квадратическое отклонение ах. Связь между системами в общем случае характеризуется ковариацией — моментом связи; для двумерного распределения обозначается со'(х, у), или тХ!Г или М[(х — тх)(у — ту).

Можно использовать ковариацию нормированных отклонений — коэффициент корреляции.

где .г7 = (х — тх)/ал, у' = (у-ту)/оу — нормированные отклонения; о,-, ау — среднеквадратические отклонения. Основные статистические закономерности приведены в табл. 3.2.

Практическое применение получили в основном одномерные распределения, что связано со сложностью получения статистических закономерностей и доказательства адекватности их применения для конкретных приложений, которое базируется на понятии выборки.

Под выборкой понимается часть изучаемой совокупности явлений, на основе исследования которой получают статистические закономерности, присущие всей совокупности и распространяемые на нее с какой-то вероятностью.

Для того чтобы полученные при исследовании выборки закономерности можно было распространить на всю совокупность, выборка должна быть представительной (репрезентативной), т. е. обладать определенными качественными и количественными характеристиками. Качественные характеристики связаны с содержательным аспектом выборки, т. е. с определением, являются ли элементы, входящие в нее, элементами исследуемой совокупности, правильно ли отобраны эти элементы с точки зрения цели исследования (с этой точки зрения выборка может быть случайной, направленной или смешанной).

Количественные характеристики представительности выборки связаны с определением объема выборки, достаточного для того, чтобы на основе ее исследования можно было делать выводы о совокупности в целом. Уменьшение объема выборки можно получить на основе эргодического свойства, т. е. путем увеличения длительности статистических испытаний (в большинстве практических случаев вопрос о количественных характеристиках выборки является предметом специального исследования).

На базе статистических представлений развивается ряд математических теорий, которые можно разделить на четыре основные группы, главные идеи которых кратко характеризуются в параграфах 3.2—3.5:

• 1) математическая статистика (параграф 3.2);
• 2) теория статистических испытаний (параграф 3.3);
• 3) теория выдвижения и проверки статистических гипотез (параграф 3.4);
• 4) теория массового обслуживания (параграф 3.5);

Таблица 3.2

5) теория потенциальной помехоустойчивости, которая обобщает третье и четвертое направления теории статистических решений. В ее рамках, в свою очередь, возник ряд интересных и полезных для практики направлений; начала теории положены работами В. А. Котельникова, проводимыми независимо от теории решающих функций.

Перечисленные направления в большинстве своем носят теоретико-прикладной характер и возникали из потребностей практики. На их основе развивается ряд прикладных научных направлений: экономическая статистика, теория массового обслуживания, статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, стохастическое программирование, новые разделы теории игр и т. п.

На базе статистических представлений развивается информетрия, закономерности которой важны для прикладной информатики и других специальностей, связанных с разработкой информационных систем.