Алгоритм численного решения осесимметричной задачи

В настоящей главе для численного решения одномерных краевых задач аналогично методу, рассмотренному в параграфе 5.6, два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка (6.18), (6.19) относительно функций и_п(г) и v_n® сводятся к системе четырех уравнений первого порядка.

где У" — вектор неизвестных длиной 4, при этом у_[п =

Уъ⁼ К' Уъп^{= г}'п' Уп^{= v}n> А — матрица коэффициентов системы размером 4X4, элементы которой равны

F_w — вектор правой части длиной 4, компоненты которого выражаются равенствами.

Граничные условия (6.18) также можно записать в матричном виде:

где.

В этих равенствах ненулевые элементы матрицы В_п и вектора Ф,_; определяются равенствами.

Численное решение краевой задачи, описываемой уравнением (6.21) с граничными условиями (6.22), можно осуществить методом ортогональной матричной прогонки, который был рассмотрен в параграфе 5.6, и с помощью программных комплексов MatLab и МАРЬ.

Напряженное состояние породного массива со сферической полостью

В параграфах 3.1 и 3.2 в центрально-симметричной постановке рассмотрены задачи определения температурных и силовых напряжений в радиально неоднородном массиве со сферической полостью.

Рис. 6.2. Расчетная схема массива со сферической полостью

В настоящем параграфе рассмотрим осесимметричную задачу о деформировании радиально неоднородного массива со сферической полостью радиуса а. Расчетная схема показана на рис. 6.2. Вырежем из массива сферу радиуса а, центр которой совпадает с центром полости. Полученный толстостенный полый шар нагружен внешними нормальными (ф_;,) и касательными (q_b) нагрузками, соответствующими отпору среды:

где у — удельный вес материала; Н — глубина заложения полости.

Объемные силы R и 0 выражаются через у равенствами.

В некоторых случаях собственным весом вырезаемой части массива можно пренебречь. При этом вырезанный массив оказывается неуравновешенным, однако принятая условность не сказывается существенно на результатах.

Радиальная неоднородность материала обусловлена центрально-симметричным температурным полем.

В случае стационарного режима распределение температуры в массиве описывается зависимостью.

где Т_а и Т_ь — соответственно температуры внутренней и внешней поверхностей шара. Такая задача соответствует, например, хранению в полости продукта, имеющего тенденцию к саморазшреву. Заметим, что при Ь-*°о равенство (6.25) переходит в формулу (3.10), в которой Т₀ следует положить равным Т_ь.

Задачу, когда в полости, создаваемой взрывом, мгновенно выделяется некоторое тепло, можно рассматривать как квазистационарную. При этом температурное поле, зависящее от радиуса и времени, описывается формулой (3.9). Соответствующие зависимости Т (г) для некоторых моментов времени при квазистационарном режиме в сопоставлении с одним вариантом стационарного температурного поля приведены на рис. 3.9.

Если рассмотреть несколько более общую постановку задачи, когда неоднородность массива вызвана не только температурным, но и взрывным воздействием (см. параграф 3.1), которое также будем считать центрально-симметричным, то для этого случая обобщенная зависимость Е (г) дается формулой (3.11).

Для решения рассматриваемой в настоящей главе осесимметричной задачи в сферических координатах был применен численно-аналитический метод, описанный в параграфах 6.2, 6.3.

Рассмотрим вопрос выбора N— числа членов рядов (6.12), необходимых для получения достаточно точных результатов. В первую очередь, значение Доопределяется разложениями поверхностных и объемных нагрузок в ряды Фурье. В данном случае и те и другие нагрузки точно представляются частичными суммами рядов по полиномам Лежандра.

Представляя согласно (6.17) нагрузки p_h и q_h в виде.

и сравнивая полученные выражения с равенствами (6.23), можно найти коэффициенты р_ь «и q_{b n} (п = 0, 1, 2, 3):

Остальные коэффициенты для п > 4 равны нулю.

Аналогично, сопоставляя представления (6.16) для R и 0 с формулами (6.24) с учетом соотношений (6.14), найдем.

при этом 7?₀ = 0 и R_n = Т_п = 0 для п > 2.

Заметим, что в отличие от рассмотренных в предыдущих главах задач, в которых использовался численно-аналитический метод, где точность численного решения главным образом определялась двумя параметрами: N— числом членов рядов Фурье и М— числом шагов, на которые разбивался интервал интегрирования, в данном случае точность зависит только от M_f поскольку конечные суммы рядов точно удовлетворяют граничным условиям.

Таким образом, решение рассматриваемой задачи может быть получено путем численного решения четырех краевых задач (для п = 0, 1,2, 3), описываемых матричным дифференциальным уравнением (6.21) с граничными условиями.

(6.22). При этом решение задачи для п = 0 упрощается, поскольку v_Q® = 0.

Рассмотрим пример расчета, когда массив находится только под действием внешних поверхностных нагрузок p_h(Q) и q_h(i)), а неоднородность материала обусловлена только взрывным воздействием. Полученные результаты в сопоставлении с некоторыми аналитическими данными позволяют определить радиус внешней поверхности вырезаемого массива b и необходимое значение числа шагов М, на которое разбивается отрезок (а_у b).

На основе результатов решения задачи о равновесии массива с цилиндрической полостью, в которых показано, что при а b объемными силами можно пренебречь, ниже приведен расчет без учета собственного веса вырезаемого массива (/? = © = 0).

При отсутствии температурного воздействия (в_1} = 0) можно не учитывать температурную неоднородность, откуда следует, что в равенстве (3.11) следует положить 6 = 0.

Точность получаемых результатов можно оценить путем сопоставления вычисленных напряжений в некоторых точках поверхности r=bc аналитическими значениями, которые частично вытекают из граничных условий, а также из решения задачи о нагружении сплошного массива, поскольку, как показано в параграфе 3.1, на достаточном удалении от полости концентрацией напряжений вблизи полости и влиянием локальной неоднородности можно пренебречь. В табл. 6.1 приведены формулы для напряжений в характерных точках (рис. 6.3).

В табл. 6.1 k* = v/(l — v), а значения p_h(Q) и g_/;(0), стоящие в строчках, соответствующих углам 0, равным 45 и 135°, вычисляются по формулам (6.23).

Таблица 6.1

Формулы для напряжений на внешней поверхности вырезанного массива (г = Ь)

Рис. 63. К определению напряжений на внешней поверхности шарового массива

Анализ показал, что вычисленные с помощью численноаналитического метода напряжения а, и т_/в практически совпадают с соответствующими аналитическими значениями, приведенными в табл. 6.1, что объясняется хорошим выполнением граничных условий при численном решении одномерных задач.

В табл. 6.2 приведены результаты вычисления численноаналитическим методом напряжений а₀ и а_ф в точках А, С и? для однородного (в формуле (3.11) k = 1) и неоднородного (k = 0,5) материалов, а также по аналитическим формулам табл. 6.1. При этом следует заметить, что формулы, приведенные в табл. 6.1, в соответствии со сделанными выше.

Таблица 6.2

Сравнение напряжений, вычисленных численноаналитическим методом, с аналитическими значениями.

предположениями справедливы как для однородного, так и для неоднородного материалов. Расчет проводился при следующих значениях исходных данных: а = 25 м; b = 250 м; Н = 1200 м; у = 25 кН/м³; Е₀ = 2 • 10⁴ МПа; v = 0,23; М = 100.

Некоторые отличия в приведенных значениях напряжений можно объяснить тем, что при вычислении а_е и а_ф осуществляется численное дифференцирование функций и и что всегда приводит к понижению точности.

В целом можно отметить, что при численно-аналитическом способе расчета выбор соотношения Ь/а =10 и разбиения отрезка (а, Ъ) на 100 шагов дает вполне удовлетворительные результаты.

На рис. 6.4 показаны эпюры нормальных напряжений, построенные вдоль горизонтального радиуса (0 = 90°) и вдоль контура полости (г = а).

Как и в одномерной задаче расчета массива со сферической полостью (см. параграф 3.1), а также в плоской задаче расчета массива с цилиндрическим отверстием, в ближней к полости зоне наблюдаются значительные отличия значений напряжений в однородном и неоднородном массивах. При наличии сферической полости затухание напряжений происходит быстрее, чем в случае цилиндрического отверстия. Можно отметить, что при г > За напряжения в однородном и неоднородном массивах совпадают. Примерно на этом же расстоянии эпюры напряжений приближаются к асимптотическим значениям, соответствующим напряжениям на внешней поверхности вырезаемой шаровой области. Отсюда можно сделать вывод, что предположение о локальном влиянии на напряженное состояние сферического.

Рис. 6.4. Эпюры напряжений в массиве со сферической полостью:

а — вдоль радиуса при 0 = 90°; б — вдоль угловой координаты при г = а пунктирные линии — однородный материал; сплошные линии неоднородный материал концентратора и неоднородности является вполне обоснованным. Изменение напряжений вдоль контура полости также качественно согласуется с результатами, полученными в гл. 5 для массива с цилиндрическим отверстием.