Методы теории колебаний

Введение

Предметом теории колебаний является изучение общих особенностей и закономерностей колебательных процессов в различных ди;

намических системах и условий их существования. Подобные динамические системы, в которых могут существовать колебательные процессы, принято называть колебательными системами. В теории колебаний основное внимание уделяется разработке эффективных методов анализа и расчета различных колебательных процессов.

Для изучения колебательных процессов в конкретных системах проводят классификацию колебательных систем по их динамическим свойствам. В качестве классификационных признаков используют:

=> свойства параметров системы: линейные системы, нелинейные системы, системы с распределенными параметрами, параметрические системы;

=> число степеней свободы. Под этим термином понимается наименьшее число разрывов в электрической цепи, необходимое для того, чтобы стало невозможным какое-либо протекание токов в рассматриваемой системе [39];

=> энергетический признак, согласно которому системы разделяются на активные (с внутренним источником энергии) и пассивные;

=> наличие/отсутствие источника переменного напряжения: автономные системы и неавтономные системы;

=> кинематические признаки колебательного движения: периодичность и форма колебаний.

В дальнейшем рассматриваются простейшие колебательные системы с одной степенью свободы, которые описываются дифференциальным уравнением второго порядка.

Среди нелинейных систем выделяется класс автоколебательных систем, или автогенераторов, способных генерировать (создавать) колебания при отсутствии внешних источников переменного напряжения. Автоколебательная система может находиться под воздействием внешних переменных сил. В соответствии с этим, как уже упоминалось выше, употребляют термины автономные и неавтономные автоколебательные системы.

Исследование автоколебательных систем сводится:

=> к отысканию состояний равновесия (покоя, при которых все искомые токи и напряжения нс зависят от времени) системы и исследования их устойчивости;

=> к решению задачи о периодических колебаниях (движениях) системы: выявляются периодические решения уравнений, и исследуется их устойчивость.

О методах анализа автоколебательных систем. Для описания процессов в автоколебательных системах используются нелинейные дифференци;

альные уравнения. В связи с отсутствием точных методов их решения разработано большое количество различных методов приближенного анализа нелинейных цепей. Наиболее распространенными методами являются:

=> квазилинейный метод (разработан Ю.Б. Кобзаревым), или метод гармонической линеаризации, основанный на замене нелинейного элемента эквивалентным линейным элементом, характеризуемым средним параметром (параметром по первой гармонике). Метод строится на исследовании соотношений между первыми гармониками токов и напряжений. В результате замены нелинейная цепь описывается линейными уравнениями и может исследоваться методами линейной теории (например, методом комплексных амплитуд). Нелинейность схемы проявляется в зависимости среднего параметра от амплитуды. Квазилинейный метод справедлив для систем, колебания в которых близки к гармоническим и получил наибольшее распространение для инженерных расчетов стационарных режимов автогенераторов (пригоден и для изучения переходных процессов);

=> метод малого параметра, к которому следует отнести метод медленно меняющихся амплитуд, метод возмущений и др. Некоторые из них рассмотрены ниже;

=> метод фазовой плоскости — графический метод, используемый для анализа стационарных и переходных процессов по интегральным кривым нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Метод является более общим, чем предшествующие, пригоден для исследования как синусоидальных, так и несинусоидальных (релаксационных) колебаний. Основные недостатки метода состоят в необходимости выполнения трудоемких построений и отсутствии аналитических решений;

=> метод линеаризации, состоящий в замене нелинейных зависимостей линейными, что возможно только для малых возмущений (отклонений). Применяется для выявления условий устойчивости и условий самовозбуждения. Для исследования поведения системы при больших амплитудах (стационарные автоколебания, переходные процессы) нс пригоден.

Метод медленно меняющихся амплитуд. Этот метод позволяет исследовать класс колебательных цепей (систем) с малой нелинейностью и малым затуханием, для описания которых используется дифференциальное уравнение.

где/л:', л:) — нелинейная функция; х х" — первая и вторая производные искомой величины; р. — малый параметр (ц «1).

При ц = О получаем уравнение х" + х = 0, которое описывает консервативную линейную систему с одной степенью свободы. Его решение может быть записано в виде.

где А_с и A_s — постоянные, задаваемые начальным запасом колебательной энергии цепи в виде начальных условий; при этом.

Для ц " 1 решение может быть записано в виде при этом.

где и (т) и v (x) — медленно меняющиеся амплитуды, скорость изменения которых и'" и и v'" v. В связи с малостью и' и v' введем дополнительное условие, связывающее и' и v':

Используя (3), (4), (5), можно от уравнения (1) перейти к системе.

Для этого в левую часть (1) подставим.

и (3), в правую — (3), (4); из (5) определим сначала v', а затем и' и подставим в полученное соотношение.

Система (6) из двух уравнений первого порядка точно соответствует исходному уравнению (2) второго порядка. Из этой системы следует, что производные и' и v' имеют порядок малости р «1, что подтверждает справедливость выбранных условий и'» и и v'" v.

Представим правые части (6) как периодические функции с периодом 2я в виде ряда Фурье и, ограничив его одним первым членом, получим приближенные укороченные уравнения.

Перепишем систему (7) в виде.

так как она в правых частях не содержит в явном виде времени т. Во многих случаях ее можно проинтегрировать, получая временную зависимость медленно меняющихся функций м (т) и v (x), являющихся «амплитудами» искомого решения.

Для стационарных движений (состояний) и = a_i9 v = b_t, и'= v'= 0, и тогда.

Решения системы (9) должны дать возможные стационарные амплитуды гармонических движений, приближенно отражающих реальный стационарный процесс.

Иллюстрация метода. Рассмотрим свободные колебания в контуре с нелинейной емкостью в отсутствие затухания, описываемого уравнением [39].

При? «1 и у «1 Д^ля дифференциального уравнения (10) укороченные уравнения (7) имеют вид.

После вычисления интегралов получаем.

или.

Здесь z = и² + V²— квадрат амплитуды искомого колебания.

Не прибегая к решению полученной системы укороченных уравнений (11), рассмотрим возможные движения в системе. Для стационарного состояния (и^,= v'= 0) из (11) следует два условия:

=> условие мо = v₀ = 0, которому соответствует состояние покоя;

=> условие ³/₄yz₀ = которому соответствуют стационарные колебания с постоянной амплитудой А₍₎ =. Поскольку обобщенная расстройка.

• ? = (со² — соо²)/(0², получаем (о² = (Оо²/(1 — ³/₄у^о)> где Zo задается начальными условиями, создающими в системе определенный исходный запас колебательной энерг ии; соо — резонансная частота контура; со — частота стационарных колебаний. Зависимость частоты со свободных
• 278
• (незатухающих) колебаний от амплитуды А₀ = yfz^ отражает неизо-

хронность рассматриваемой нелинейной системы.

Другой вариант метода. Рассмотрим теперь другой вариант метода медленно меняющихся амплитуд с переходом от исходных координат т и х' к новым переменным — амплитуде А и фазе 0, которые также являются медленными переменными в масштабе времени т.

Очевидно, что и = A cos 0, и v = - A sin 0, и А² = и² + v²; tg 0 = -v/u, где и и v— медленно меняющиеся амплитуды; А и 0 представляют собой соответственно полярные координаты описывающей точки на плоскости переменных и и v. Поскольку переменные и и v — медленные функции времени т, то и амплитуда А, и фаза 0 тюке медленно меняются со временем (т).

Можно искать решение исходного уравнения (1) в виде.

Следует обратить внимание на то, что выражение (13) для х' не является производной х (12) по времени т, которая имеет вид.

которому соответствует принятое допущение (13).

Если производную х' (14) продифференцировать по т, а затем х, х'

подставить в (1) с учетом (12), (13), (15), то получим точную систему из двух дифференциальных уравнений.

(16) A'=-.f (A, 0, x) sin (x + 0), Л0'=-р/(Л, 0, t)cos (t + 0),.

в которой А (т) и 0(т) являются медленными функциями времени т. Это позволяет усреднить правые части (16) за период, полагая, что А и 0 не изменяются. После усреднения получаем.

где, а = т + 0.

Таким образом, вместо системы укороченных уравнений (7) получена система (17), которая в ряде случаев упрощает нахождение стационарных решений [39].