Задания для самостоятельного решения

3.1. Рассмотрите следующую ситуацию в контексте постулата теории игр об общем знании и принципа аллоцентризма.

В купе вагона находятся два пассажира — А и Б. У каждого испачкано лицо, но никто из пассажиров не знает, что его лицо грязное, хотя каждый видит грязное лицо своего компаньона. По указывать на недостатки другого каждый считает невежливым. Если бы любой из пассажиров знал, что его лицо испачкано, он бы немедленно достал платок и вытер бы свое лицо в соответствии с общепринятыми правилами вежливости. В куне заходит проводник и объявляет, не глядя ни на кого, что в купе находится человек с грязным лицом. После этого пассажир, А понял, что его лицо тоже испачкано, и вытер лицо платком. Как он поняла это? Разве проводник не сообщил то, что он уже знал? Как и почему знание стало общим, и к какому эффекту это привело?

3.2. Рассмотрите следующую ситуацию в контексте постулата теории игр об общем знании и принципа аллоцентризма¹.

Император пригласил трех мудрецов, чтобы проверить их проницательность, и, завязав всем глаза, одел на каждого колпак красного цвета, сообщив, что они должны узнать цвет своего колпака. После того как император позволил снять повязки, каждый мудрец видит колпаки других, но не видит, какой колпак на нем. Император объявил всем, что один из колпаков красного цвета. Тогда один из мудрецов понял, что на нем красный колпак. Восстановите логику рассуждений мудреца. Как связана история о трех мудрецах с предпосылкой теории игр об общем знании?

• 3.3. Рассмотрите как игру ситуацию, представленную в примере 1.7 и описывающую намерение эксцентричного филантропа подарить одному из двух городских университетов миллиард долларов. Охарактеризуйте ее в терминах теории игр. Представьте игру в развернутой форме. Найдите решение этой игры. Можно лн считать это решение оптимальным? Какие постулаты и принципы теории игр вы применили при решении данной игры. Какие действия игроков вы бы назвали рациональными? Исходя из данной ситуации, в чем заключается парадокс рациональности как основного постулата теории игр? С чем связано его появление в данной игре?
• 3.4. Проанализируйте с позиций теории игр следующую ситуацию, связанную с соперничеством компаний в области технологического лидерства^[1][2].

Предприятие 1 ранее обладало технологическим превосходством, но в настоящее время располагает меньшими финансовыми ресурсами для научных исследований и разработок (ПИР), чем его конкурент (предприятие 2). Оба предприятия должны решить вопрос, можно ли попытаться с помощью крупных капиталовложений добиться лидирующего положения на рынке новых технологий. Если оба конкурента вложат в дело крупные средства, то перспективы на успех у предприятия 1 будут лучше, хотя оно и понесет большие финансовые расходы (как и предприятие 2). Платежи компаний представлены в таблице.

Какое решение в чистых стратегиях вы считаете оптимальным для предприятия 1 и предприятия 2? Объясните ваше решение.

• 3.5. Охарактеризуйте в классификационных терминах теории игр следующие прототипиые игры: а) «Игра в орлянку»; б) «Дилемма узников»; в) «Семейный спор»; г) «Встреча в Нью-Йорке»; д) «Перекресток». Идентифицируйте правила этих игр, объем информации, доступный игрокам, критерии оптимальности, возможные решения. Определите общее знание в этих играх.
• 3.6. Представьте в виде игры ситуацию, когда распродажа билетов одной авиакомпанией вынуждает конкурирующую авиакомпанию также снижать цены на билеты. Платежи установите произвольно. Какой прототипной игрой моделируется данная ситуация? Решите игру.
• 3.7. Представьте, что два соседа по комнате принимают решение об уборке комнаты (независимо друг от друга и не договариваясь друг с другом). Каждому больше правится жить в чистой комнате, чем в неубранной, но при этом каждый предпочитает, чтобы уборку сделал другой. Формализуйте ситуацию в виде игры. Какого типа игру вы получили? Найдите формальное решение игры и предложите варианты его практической реализации.
• 3.8 1221. Проанализируйте возможности решения игры «Студент-преподаватель» в чистых стратегиях и определите наличие равновесий (в доминантных стратегиях, Нэша, Штакельберга) и оптимум Парето.

3.9. Определите наличие всех известных вам типов равновесий в следующей игре:

3.10. В игре

найдите такое значение х, при котором:

• а) равновесие Нэша было бы единственным;
• б) существовало бы два равновесия Нэша;
• в) существовало бы три равновесия Нэша.
• 3.11. Проанализируйте с позиций теории игр известную библейскую историю о суде царя Соломона над двумя женщинами, претендовавшими на новорожденного ребенка, и его решении^[3].

Проанализируйте данную ситуацию в терминах теории игр. Хотя одна из женщин сделала «первый ход», эту ситуацию можно рассматривать как синхронную игру: Соломон мог установить правила иначе (например, спросить о решении женщин в разных комнатах) и получить тот же результат.

а) Представьте игру в нормальной форме.

Какие стратегии имеют женщины? Какие платежи могут быть установлены для настоящей матери и самозванки при их возможных стратегиях? (При определении платежей учитывайте также возможные последствия подчинения или неподчинения царскому приказу.) Для простоты определите платежи от 1 (наихудший исход) до 4 (наилучший исход).

Есть ли в данной игре доминирующая стратегия для матери? Есть ли в данной игре доминирующая стратегия для самозванки? Есть ли в данной игре ситуация равновесия?

• б) Представьте игру в развернутой форме. Покажите, что в данной игре нет преимущества первого хода.
• в) Если бы ненастоящая мать знала заранее о решении царя, как бы она могла изменить свое решение? Изменились бы ее платежи в игре? Изменилось бы в таком случае решение игры (доминирующие стратегии, ситуация равновесия)? г) Если бы знание фальшивой матери о критерии принятия решения паря входило в общее знание, изменилось бы решение игры?
• д) Если бы самозванка верила, что она настоящая мать, изменилось бы решение игры?
• е) Смог бы Соломон получить тот же результат, если бы игра разыгрывалась многократно или по меньшей мере еще раз?
• ж) К какому типу относится данная игра?
• 3.12. Представьте в нормальной и развернутой форме игру «Борьба за рынки» (см. пример 1.6) с тремя игроками (монополист и два аутсайдера), у каждого из которых по две стратегии. Платежи установите самостоятельно. Проанализируйте ситуацию. Предложите решение. Каким образом можно представить в нормальной и развернутой форме игру четырех и более игроков?
• 3.13. Представьте в нормальной форме и решите игру «Красное и черное» (см. параграф 3.5). Какой прототипной игре соответствует эта игра?
• 3.14. Пираты делят 100 слитков золота, но следующему правилу. Старший пират предлагает свой вариант дележа. Если хотя бы половина команды, включая его самого, соглашается, то дележ принимается. В противном случае старший пират не получает ничего и не может принимать участия в последующем дележе, а право предложить свой вариант дележа предоставляется следующему по старшинству пирату и т. д. Охарактеризуйте игру в терминах теории игр. Определите оптимальную стратегию дележа в случае четного и нечетного числа пиратов на корабле¹.
• 3.15. Два кандидата в президенты решают, в каком из шести регионов организовать предвыборную агитационную кампанию^[4][5]. Кандидат, который проводит в регионе агитационную кампанию, получает все голоса от региона, а на выборах побеждает кандидат, набравший больше всего голосов. Распределение избирателей по регионам (в процентах от общего количества голосов): 27, 27, 24, 18, 2, 2. Ситуация равенства голосов разрешается жребием. Для простоты примите, что в течение рассматриваемого периода можно организовать агитационную кампанию лишь в одном регионе.
• а) Формализуйте ситуацию в виде игры. К какому типу относится эта игра?
• б) Как можно определить оптимальные стратегии посещения кандидатами регионов?
• в) Как изменятся стратегии кандидатов, если у них будет возможность посетить два и более регионов за рассматриваемый период?
• 3.16. На единичном отрезке равномерно распределены потребители некоего товара, который продают два конкурирующих магазина. Покупатели обращаются в тот магазин, который к ним ближе. Как следует разместить магазины на отрезке с точки зрения равновесия Нэша? Как изменятся оптимальные стратегии игроков, если на этом рынке появляется еще один игрок?
• 3.17. Двум игрокам предлагается 1000 руб., которые они должны разделить, написав на листке бумаги один из вариантов: 0, 500 или 1000. Если сумма на листках двух игроков не превышает 1000, то каждый из игроков получает запрашиваемую сумму, иначе не получает ничего. Формализуйте ситуацию в виде игры. Сколько равновесий Нэша есть в данной игре? Какое решение вы считаете оптимальным? Сказывается ли при принятии решения эффект фокальной точки?

• [1] С использованием материалов учебного пособия [4].
• [2] Фелькер Р. Использование теории игр в практике управления.
• [3] См.: Ветхий Завет. Третья книга Царств, 3: 16—28.
• [4] Мулен Э. Теория игр. М.: Мир, 1985.
• [5] По материалам книги [1).