Индуктивная логика. 
Логика

Единственное, что заслуживает внимания в этом деле, — цепь рассуждений от следствия к причине.

А. Конан Дойль «Знак четырех».

Всякое индуктивное умозаключение есть только обратное применение дедуктивного умозаключения. Обладая известными частными фактами или явлениями, выраженными в предложениях, мы придумываем какое-нибудь общее предложение, выражающее существование закона или причины; и выводя частные результаты из этого предполагаемого общего предложения, мы наблюдаем, согласуются ли они с имеющимися фактами. Значит, всегда употребляется гипотеза, сознательно

или бессознательно…

«Основы науки: Трактат о логике и научном методе Стенли Джевонса».

Основные определения и допущения индуктивной логики

Как объяснялось ранее (гл. 3), назначение индуктивного умозаключения состоит в том, чтобы по известным следствиям находить их наиболее вероятные причины. Анализ симптомов позволяет врачу определить с большей или меньшей вероятностью характер заболевания; сбор и исследование улик дают следователю основание сформулировать версию преступления; изучение собранных фактов открывает ученому возможность предсказать определенную закономерность. Но ни в одном из указанных случаев заключение не становится необходимым, т. е. не обладает максимальной вероятностью. Почему? Потому что главная особенность всех недедуктивных умозаключений, включая и индуктивные, заключается в том, что их посылки совместимы как с выводимым заключением, так и с его отрицанием.

Для обозначения структурных частей умозаключений в индуктивной логике принято использовать следующую терминологию. Посылки.

(аргументы) индуктивных умозаключений называются свидетельством. В качестве свидетельства могут выступать не только единичные факты, но и теоретические допущения. Гипотезы о возможных законах и причинах исследуемых фактов выполняют функцию заключений (тезисов).

Отличительным признаком индуктивных умозаключений служит то, что их заключение (гипотеза) и посылки (свидетельство) связаны отношением индуктивного следования, которое в отличие от отношения логического следования, сохраняющего истину посылок, увеличивает правдоподобие гипотез по сравнению с их определенным начальным уровнем.

Умозаключение называется индуктивным, если на его посылках и заключении определено отношение индуктивного следования.

Логические и терминологические отличия дедуктивных и индуктивных умозаключений друг от друга для ясности сведены в одну таблицу (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Сравнительный анализ дедуктивных и индуктивных умозаключений

Индуктивная логика IL представляет объединение правил и теорем дедуктивной логики DL, правил и теорем исчисления вероятностей Р и двух правил индуктивного вывода R, и R, согласно следующему определению:

Высказываниями индуктивной логики считаются все правильно построенные формулы дедуктивной логики, теоремы исчисления вероятностей и все высказывания, образованные с помощью правил R₍ и R_n.

Пусть ф, (ри у — произвольные высказывания индуктивной логики. Следующие аксиомы и теоремы исчисления вероятностей Р образуют вероятностную часть индуктивной логики IL:

P1.P (0)>O.

P2. />(-, 0) — 1 — Р (ф).

РЗ. Р (ф v ф) = Р (0) + Р (<�р) — Р (ф & <�р).

Р4 .Р (ф&(р) = Р (ф)Р"р/ф).

Р5. Р (ф/(р) — Р (Ф)Р (Ф/Ф)/Р ((р), только если Р (0.

Р6. (а) Рф = Р (ф& (р) + Р (-лф & <�р).

(Ь) Р (0/у) = Р (ф&(р/у) + Р (-, ф & (р/у).

Р7. Р (0 & <�р) < Р (0), если и только если 0 <�Р (ф< 1 и 0 < Р (ф) < 1.

Р8. Если (ф & (р) — противоречивая конъюнкция, то Р (ф& ф) = 0.

Пусть Р (ф) обозначает начальную (до приведения свидетельства) вероятность гипотезы ф, Р (ф/(р) — вероятность этой же гипотезы после приведения свидетельства (р. Если начальная вероятность гипотезы Р (ф) равна 0, тогда гипотеза ф — логически ложное высказывание. Если эта вероятность равна 1, тогда ф — логически истинное высказывание. Если эта вероятность лежит в интервале 0 < Р (ф) < 1, тогда ф — логически нейтральное или, как принято говорить в индуктивной логике, правдоподобное, т. е. относительно истинное высказывание.

Фундаментальное отличие правдоподобных суждений от логически истинных и ложных состоит в том, что они могут изменять свою вероятность в зависимости от разных свидетельств. Будучи константами, логически истинные и ложные суждения таким свойством не обладают. Логическую истину и логическую ложь можно рассматривать как пределы изменения правдоподобия.

Произвольное высказывание ф индуктивной логики правдоподобно, если и только если его вероятность лежит в интервале 0<�Р (ф)< 1.

Все теоремы индуктивной логики связаны с формулировкой условий, при которых возможно изменение правдоподобия гипотез. Отсюда следует основное допущение индуктивной логики: ее высказывания должны быть правдоподобными высказываниями.

Допущение индуктивной логики (ДИЛ). Все гипотезы и свидетельства, из которых построены теоремы IL, если это специально не оговаривается, — правдоподобные высказывания.

Всякая вероятность служит мерой. Что именно измеряют вероятности Р (ф) и Р (ф/ф)? Мы будем называть вероятность Р (ф) априорным (начальным, до приведения свидетельства (р) правдоподобием гипотезы ф, Р (ф/(р) — ее апостериорным (после приведения свидетельства (р) правдоподобием. Априорное правдоподобие гипотезы измеряет степень ее истинности как таковой, безотносительно к какому-либо свидетельству. Апостериорное же правдоподобие — степень истинности гипотезы, но уже после того, как приведено некоторое свидетельство. Апостериорное правдоподобие в отличие от априорного представляет переменную величину. Например, результатом состязания обвинения и защиты в судебном процессе становится увеличение или уменьшение апостериорного правдоподобия тезиса «X виновен». При этом окончательный результат подобного состязания может быть прямо противоположен начальному состоянию: тот, кого считали виновным, может быть оправдан, а тот, кого считали невиновным, наоборот, обвинен.

Пусть 1(ф, (р) обозначает отношение индуктивного следования между высказываниями ф и (р. Этот символ читается следующим образом: высказывание (гипотеза)ф индуктивно следует из высказывания (свидетельства)(р. Вместо «гипотеза ф индуктивно следует из свидетельства (р» можно также говорить, что свидетельство (р подтверждает гипотезу ф, т. е. повышает значение ее правдоподобия в сравнении с начальным уровнем; что гипотеза ф позитивно индуцируется свидетельством (р" , что свидетельство (р благоприятно для ninote3bi ф.

В отличие от отношения логического следования, согласно которому истина посылок обязательно переносится на заключение, вследствие чего отрицание последнего несовместимо с посылками, отношение индуктивного следования не столь жесткое. Оно допускает совместимость посылок как с заключением, так и с его отрицанием. Назначение индуктивного умозаключения состоит не в том, чтобы переносить истинность посылок на заключение, а в том, чтобы увеличивать степень его истинности (правдоподобия).

Существует несколько вероятностных интерпретаций отношения индуктивного следования. Наименее проблематичная из всех такова:

(R,) Высказывание финдуктивно следует из высказывания (р, 1{ф, (р),

если и только если дедуктивно выводимо неравенство Р{ф/(р) > Р (ф).

Буквально неравенство Р (ф/(р) > Р (ф) означает, что свидетельство (р подтверждает гипотезу ф, так как в его присутствии степень правдоподобия гипотезы по сравнению с начальным уровнем розрастает.

Если имеет место Р (ф/(р) < Р (ф), то принято говорить, что свидетельство (р дисподтверждает гипотезу ф, поскольку оно понижает значение ее правдоподобия в сравнении с начальным уровнем.

Если имеет место Р (ф/(р) — Р (ф), значит свидетельство <�у) оказалось индуктивно нейтральным для гипотезы ф, так как оно не повышает и не понижает степень ее правдоподобия относительно априорного уровня.

Объединяя вместе случаи дисподтверждения и индуктивной нейтральности гипотез, получаем из (Л_у), что высказывание ф индуктивно не следует из высказывания <�р, — это будет обозначаться какi 1(ф, <�р)_} если и только если Р (ф/(р) < Р (ф).

Как дедукция основывается на отношении логического следования, так и индукция — на отношении индуктивного следования. Оба вида отношений, хотя и обладают некоторыми общими свойствами, принципиально отличаются друг от друга. Исследуем их общие и различные свойства более детально.

По соглашению, конъюнкция произвольных высказываний фи (риндуктивной логики будет обозначаться как (фкр).

Следующая теорема доказывает, что отношение индуктивного следования может иметь место только между совместимыми по истине высказываниями (вероятность конъюнкции которых больше нуля).

Теорема 1.1(ф, (р) н [Р (ф 0].

Доказательство:

• 1. 1(ф, (р) — доп.
• 2. Р (ф/ф) > Р (ф) — из 1, R,
• 3. Р (ф (р) > 0 — из 2, Р5.
• 4. (ф (р) — логически непротиворечивая конъюнкция из 3, контрапозиция Р8.

Согласно теореме 1, противоречащие друг другу, а также противоположные высказывания не могут находиться в отношении индуктивного следования. Наоборот, высказывания, связанные отношением индуктивного следования, не могут противоречить друг другу. Означает ли это, что отношения логического и индуктивного следования идентичны?

Оба вида отношений сходны только в том, что они оба рефлексивны. При этом отношение логического следования не симметрично, но транзитивно, а отношение индуктивного следования симметрично, но не транзитивно.

Необходимые и достаточные условия рефлексивности отношения индуктивного следования указывает следующая теорема.

Теорема 2. ь 1(ф, ф) = [0 < Р (ф) < 1].

Доказательство:

• 1.1(ф, ф) — доп.
• 2. Р (ф/ф) > Р (ф) — из 1, R,.
• 3. 0 < Р (ф) < 1 — из 2, Р5.
• 4. ф — правдоподобное высказывание из 3.
• 5. 0 < Р (ф) < 1 — из 4, ДИЛ.
• 6. Р (ф/ф) > Р ( — из 5, Р5.
• 7.1(ф, ф) — из 6, R,

Необходимые и достаточные условия симметричности отношения индуктивного следования указывает следующая теорема.

Теорема 3. ь 1(ф, <�р) = 1(<�р, ф)

Доказательство:

• 1.1(ф, <�р) — доп.
• 2. Р (ф/ф) > Р (ф) — из 1, R,
• 3. Р (фф)/Р (ф) > Р (ф) — из 2, Р5.
• 4. Р (ф Р (<�р)Р (ф) — из 3.
• 5. Р (Ф Р (<�р) — из 4.
• 6. Р (Р (<�р) — из 5, R,.
• 7. /(<�р, ф) — из 6, R,

Вторая часть теоремы 3 доказывается аналогично.

Из теорем 2 и 3 следует, что отношение индуктивного следования рефлексивно и симметрично. Транзитивное ли оно, как и отношение' логического следования? Иными словами, всегда ли истинно умозаключение следующего вида:

Легко показать, что посылки умозаключения (*) могут быть истинны, а его заключение, тем не менее, ложным. Например, следующее распределение вероятностей на базисных конъюнкциях, образованных из произвольных высказываний индуктивной логики <�р, ф и у, представляет контрпример для (*).

Из приведенного распределения вероятностей следует:

Р (ф/<�р) — Р (фср)/Р (<�р) — 0,5 > Р (ф) — 0,4;

Р (У/Ф) — Р (УФ)/Р (Ф) ~ 0,75 > Р (_У) — 0,6;

P (Y/

" Р (УФ)/Р (<�Р) — 0,5< Р (у) — 0,6.

Вычисления оправдывают посылки, но несовместимы с заключением (*). Значит, отношение индуктивного следования, хотя и рефлексивно, и симметрично, но не транзитивно. И этим принципиально отличается от отношения логического следования.