Статистика. 
Логика естествознания

Законом больших чисел Пуассон назвал теорему, в которой он обобщил теорему Бернулли; теорема Пуассона, в свою очередь, была обобщена, и выведенные таким образом общие предложения также получили название закона больших чисел.

Сущность закона больших чисел можно изложить так: средняя арифметическая однородных независимых величин, при условии достаточно большого количества последних, будет как угодно мало отличаться от средней арифметической математических ожиданий этих величин. Но математическое ожидание какой-либо величины, в свою очередь, есть не что иное, как a priori вычисленная средняя арифметическая результатов нескольких действительных или возможных испытаний. Поэтому, переведя закон больших чисел с технического языка математики на обыкновенный, получим: a priori вычисленная средняя однородных независимых величин будет как угодно мало отличаться от средней, найденной a posteriori (путем массовых наблюдений), при условии рассмотрения достаточно большого количества независимых величин.

В тех случаях, когда мы знаем все постоянные причины, влияющие на исход независимых испытаний, закон больших чисел позволяет нам предвидеть результат массовых опытов, так как при достаточно большом количестве испытаний влияние неустойчивых расположений само собою исключается.

Закон больших чисел позволяет также решать и обратную задачу: по результатам массовых наблюдений, сводя вместе большое количество данных в опыте случайных величин, найти с известной степенью приближения тот тип явлений, ту среднюю величину, которой благоприятствуют неизвестные постоянные причины, влияющие на объекты наблюдений.

Таким образом, существует не один метод применения теории вероятностей к массовым явлениям в различных науках, как обычно думают, но два принципиально различных метода.

Область применения первого метода сравнительно ограничена. Он может применяться в тех случаях, когда объекты относительно просты, чрезвычайно многочисленны и сходны друг с другом, находятся в непрерывном движении. Такие условия мы находим в мире атомов, молекул, электронов, — здесь и применяется первый метод — статистическая механика.

Другой метод имеет более обширное применение в различных областях знания: в общественных науках, в биологии, метеорологии, физике (например, исключение случайных ошибок наблюдений), астрономии и проч. Так как один и тот же метод применяется во многих науках, то под статистикой в широком смысле следует понимать всякое обратное применение закона больших чисел.

Статистический метод применяется в тех случаях, когда действуют в точности неизвестные, но устойчивые причины, и в то же время вместе с ними действуют переменные влияния, зависящие от беспорядочного распределения некоторых факторов. Эти переменные влияния создают индивидуальные отклонения, но в большом объеме взаимно компенсируются. Получаемая при этом устойчивость больших статистических чисел объясняется не чем иным, как устойчивостью постоянных причин, действующих в исследуемой области. Если бы переменных влияний не было, то влияние постоянных причин можно было определить в каждом отдельном случае. Например, было бы достаточно опытов с 3—6 растениями, чтобы установить законы менделизма. В действительности же необходимо проделать опыты с несколькими сотнями растений для того, чтобы законы наследственной передачи признаков выступили с полной ясностью. Даже в массовом масштабе случайности компенсируются не вполне, так что выводы статистики всегда имеют ограниченную точность.

Постоянно действующие в какой-либо области причины благоприятствуют некоторой средней величине, не зависящей от индивидуальных отклонений. Значение этой величины мы могли бы найти a priori, если бы знали в точности природу действующих постоянных причин. Но в тех случаях, когда явления слишком сложны, нам остается другой путь: сводя вместе результаты многочисленных наблюдений частных случаев, найти истинную среднюю a posteriori. В простейших случаях арифметическая средняя наблюденных зарегистрированных величин дает приближенное значение той истинной средней, которой благоприятствуют устойчивые причины. Убедиться в близком совпадении истинной и a posteriori найденной средней можно, рассматривая отклонения от найденной средней величины. Случайные отклонения от истинной средней дают характерную картину, изображаемую хорошо известной кривой, которую можно найти во всех учебниках статистики. Такой простой результат получается, когда все исследуемые объекты однородны, т. е. если во всех случаях наблюдений производят действие одни и те же постоянные причины. Если же объекты наблюдений не однородны, т. е. если в различных случаях действуют различные причины, тогда средняя арифметическая имеет значение лишь счетной абстракции и не выражает собою никакого общего закона.

Пусть, например, определяется средняя продолжительность человеческой жизни. Здесь объекты не однородны, так как в городах и селах действуют различные причины, благоприятствующие различным значениям средней для городских и сельских жителей; кроме того, средняя продолжительность жизни беднейшего населения города, средних слоев и богачей будет различна. Простая арифметическая средняя всех наблюдений, собранных вместе, поэтому будет иметь малое значение; это сейчас же и обнаружится, так как кривая отклонений не будет иметь указанного простого характера.

Часто бывает не так легко решить, имеем ли мы дело с однородными или же с неоднородными величинами; поэтому вывод истинной средней из многих наблюдений является далеко не простой задачей. Необходимо, далее, в данном статистическом материале отобрать все однородные величины и исключить величины другого рода или же выделить их в особые группы и вывести для них особые средние арифметические. Все такие задачи нахождения типических средних из наблюдений над объектами не вполне однородного характера решаются посредством теории вероятностей, т. е. посредством скрытого в математических формулах подсчета результатов всех возможных расположений. Иногда бывает невозможно в силу каких-либо причин добыть необходимый статистический материал путем наблюдений, и приходится делать выводы из недостаточных данных; такие выводы могут быть сделаны также только при помощи теории вероятностей. Впрочем, было бы бесполезно перечислять здесь все возможные приложения теории вероятностей к статистике.

Однако простое производство наблюдений и их математическая обработка сами по себе могут дать мало ценных результатов. В самом деле, мы видели, что комплекс устойчивых причин благоприятствует некоторому конечному результату, некоторой определенной средней. Этот конечный результат, общее действие комплекса причин можно открыть при помощи методов теории вероятностей с тем или иным приближением. Общий комплекс причин может быть иногда разбит на частные комплексы; влияние частных комплексов может быть выделено. Но, во всяком случае, мы находим обычно только конечный результат влияний многих факторов, связь которых с полученными результатами — только эмпирическая. Каждый фактор в отдельности остается нам неизвестным, и неизвестна его степень устойчивости; следовательно, и обобщать полученные результаты можно только с осторожностью, не выходя значительно за пределы места и времени полученных результатов.

Иная картина получается, если статистическим исследованием руководит теоретическое мышление, которое хорошо изучило процессы, происходящие в среде наблюдаемых объектов. Только теоретическое мышление сможет разложить комплекс совместно действующих причин на их составляющие и оценить устойчивость каждого фактора в отдельности. Только ясное понимание природы изучаемых процессов позволяет выделить однородные группы объектов и вообще находить подходящие объекты и масштабы для исследования.

С своей стороны и теоретическое мышление во всех спорных вопросах должно опираться на статистически обработанный материал.