Статистические гипотезы и их проверка
Уровень значимости /-критерия равен вероятности ошибочно отвергнуть гипотезу о равенстве средних двух выборок, когда в действительности эта гипотеза имеет место. Иными словами, он равен вероятности ошибки принять гипотезу о неравенстве средних, когда в действительности средние равны. Условия для проведения вычислений t-критерия соблюдены. Выборка взята из одной генеральной совокупности (возраст… Читать ещё >
Статистические гипотезы и их проверка (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Поскольку вес предположения о характере того или иного распределения — это гипотезы, то они должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью так называемых критериев согласия. Критерии согласия дают возможность установить, когда расхождения между двумя эмпирическими или теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда — существенными (неслучайными).
Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения, которая представлена на рис. 27.
Рис. 27. Схема построения проверки статистических гипотез.
Существуют два типа критериев согласия — параметрические и непараметрические.
Параметрические критерии согласии
Параметрические критерии позволяют оценить различия по одному из параметров (средних, дисперсий и т. д.) и относительно более трудоемки при вычислениях.
t-критерий Стьюдснта
Наиболее распространенным параметрическим критерием является t-критерий Стьюдента (псевдоним У. Госсета). Проверка гипотезы о разности двух средних— одна из часто встречающихся процедур в исследовательской работе.
Уровень значимости /-критерия равен вероятности ошибочно отвергнуть гипотезу о равенстве средних двух выборок, когда в действительности эта гипотеза имеет место. Иными словами, он равен вероятности ошибки принять гипотезу о неравенстве средних, когда в действительности средние равны.
Алгоритм
применении t-критерия Стьюдента
- 1. Записать вариационный ряд результатов X экспериментальной группы.
- 2. Записать вариационный ряд результатов Y контрольной группы.
- 3. Найти выборочные средние двух выборок хи у.
- 4. Найти выборочные дисперсии Sj и S2.
- 5. Вычислить эмпирическое значение критической статистики
6. Определить по таблице приложения 5 критическое значение / (а, Л| + п2 -2) для соответствующего уровня значимости, а и данного числа степеней свободы г = //, + /г, — 2.
Если /1М11>/Ч>, то различия между средними значениями экспериментальной и контрольной групп существенны на данном уровне значимости.
В целях корректности использования t-критерия на выборках проверяют выполняемость следующих требований:
- 1. Наблюдения в каждой из рассматриваемых групп взяты случайным образом из одной и той же генеральной совокупности (например, спортсмены одной квалификации или дети одного возраста и др.).
- 2. Наблюдения имеют нормальное распределение
- (оцениваемое, например, по критерию х Пирсона или при небольшом числе наблюдений — по критерию W Шапиро — Уилка), и если хотя бы для одной из групп отвергается гипотеза о нормальности распределения, то лучше применить
нспарамстричсский критерий. Справедливости ради следует отметить, что некоторые авторы [6] указывают на то, что /- критерий устойчив к отклонениям от нормальности.
- 3. Дисперсии генеральных выборок должны быть равны (проверка, например, по F-критерию Фишера = причем
- <72
в числитель всегда ставится большая дисперсия, а в знаменатель — меньшая).
Приведем расчеты для сравнения групп (ni=n2=12) юных спортсменов-волейболистов и футболистов 1992 г. р. по показателям работоспособности согласно тесту PWCi7(>/Kr массы тела.
№. | Волейбол. | Футбол. | ||
ФИО. | РУС170/кг. | ФИО. | РУС170/кг. | |
А. Владислав. | 21,5. | Б.Дснис. | 20,0. | |
В. Леонид. | 17,3. | Б. Максим. | 23,7. | |
Е. Алексей. | 18,2. | В. Кирилл. | 17,1. | |
К. Дмитрий. | 19,0. | Г. Илья. | 22,5. | |
К. Николай. | 22,3. | Ж. Роман. | 23,8. | |
К. Константин. | 17,9. | К. Александр | 21,8. | |
Р. Андрей. | 19,0. | М. Сергей. | 24,3. | |
Р. Владимир | 17,1. | О. Алексей. | 20,4. | |
Ш. Кирилл. | 20,2. | П. Олег. | 20,6. | |
К. Евгений. | 21,1. | С. Илья. | 21,6. | |
М. Егор | 24,8. | Ш. Дмитрий. | 23,2. | |
П. Илья. | 19,6. | Щ. Артем. | 19,3. | |
X | 19,8. | 21,5. | ||
<72 | 5,12. | 4,55. |
Находим выборочные средние и дисперсии S* =DX " 5,12, S* = Dy а 4,55.
Условия для проведения вычислений t-критерия соблюдены. Выборка взята из одной генеральной совокупности (возраст испытуемых— 17 лет) и имеет нормальное распределение (пример расчета по критерию Шапиро — Уилка см. ниже). Дисперсии сравниваемых выборок равны (по F-критерию Фишера).
Вычисляем t •.
t3Mn=l, 88KpHT=2,07, таким образом различия в средних значениях работоспособности не существенны на уровне значимости а=0,05.
Рис. 28. Диаграмма показателей волейболистов и футболистов по тесту PWCWkp.
Рассмотрим следующий пример. Для анализа возьмем время простой двигательной реакции (ДР) футболистов 9- и 14-летнего возраста (п=20 и п=12, соответственно).
Вычисляем выборочные средние 1 = 373мс; у = 257,3-чс и дисперсии ?>х *1316,8л/с, Dy«642,8.v/c. Дисперсии значимо не отличаются F-,Mn=2,04Kp»T=2,65.
Здесь величина tjMn=9,7>tKp,1T(0,01)=2,75. Таким образом, время реакции значимо отличается у футболистов 9- и 14-лстнего возраста.
Рис. 29. Диаграмма показателей футболистов по тесту ДР.
Критерий Крамера — Уэлча
В педагогике иногда t-критерий Стьюдента заменяют на более простой критерий Крамера — Уэлча. Эмпирическое значение данного критерия рассчитывается по следующей формуле:
Приведем расчеты для представленного выше примера.
Заметим, что Ткр (0,05) = /v(0,05;+oo) = 1,96. Поскольку Tiuo = 1,73 < 1,96 = Ткр(0,05), то и, но критерию Крамера— Уэлча показатели работоспособности между группами футболистов значимо не отличаются.
Аналогичную процедуру проведем для расчета значимости отличий в пробеге полузащитников выигравшей и проигравшей команд на Евро-2008 по футболу.
Т =0,998 <1,96 = Т (0,05) ,.
Так как м*т ' ' то по критерию Крамера —.
Уэлча показатели футболистов значимо не отличаются.