Изучение частных видов четырехугольников и их площадей

Изучение четырехугольников следует начать с актуализации опыта школьников (они знают прямоугольник и квадрат). При изучении параллельных прямых с помощью заданий, приведенных ниже, мог быть введен параллелограмм и получены его свойства.

Задание 16.7

На рис. 16.10 отрезки ЛК и Ml) пересекаются в точке О, их общей середине. Их концы последовательно соединены отрезками. Укажите на рисунке равные треугольники, равные углы. Каково взаимное расположение противоположных сторон образовавшегося четырехугольника? Знаете ли вы его название?

Какие свойства этого четырехугольника вы можете Рис. 16.10 установить, используя рис. 16.10?

Задание 16.8

На рис. 16.11 изображен четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. На рис. 16.11, а ЛМ = 40°. Определите углы этого четырехугольника. Чему будет равна их сумма? Какова связь противоположных углов этого четырехугольника?

Изменится ли последний результат, если мы зададим другую величину угла?

На рис. 16.11, б и в назовите равные углы, равные треугольники, равные отрезки.

Рис. 16.11.

Какие свойства нарисованных четырехугольников вы можете сформулировать.

Вспомните, как называются четырехугольники на рис 16.11? Сформулируйте их свойства в виде утверждений со словами «Если …, то …». Проведите доказательства полученных свойств.

На основании этих знаний и с помощью конструкций, представленных на рисунке, учениками самостоятельно могут быть получены определения частных видов параллелограмма и обоснованы свойства прямоугольника, ромба, квадрата. Для этого мы предлагаем следующие задания.

Задание 16.9.

Является ли прямоугольник параллелограммом? Какими свойствами параллелограмма он будет в этом случае обладать? Какие дополнительные свойства он будет иметь?

Задание 16.10.

Ответьте на аналогичные вопросы для ромба, квадрата. Является ли квадрат прямоугольником? Будет ли квадрат ромбом? Сформулируйте новые свойства фигур в форме теорем, выделите в них условие, заключение, разъяснительную часть.

Работая с признаками параллелограмма, учителю следует организовать поиск доказательства. На схеме (рис. 16.12) видно, как это можно сделать с помощью нисходящего анализа на примере третьего признака параллелограмма.

Для учеников, интересующихся исследовательской деятельностью в геометрии, следует предложить задания по поиску иных признаков параллелограмма. Выполнить эту работу они могут, проверяя истинность составленных ими утверждений, обратных свойствам (опыт установления таким же образом признаков равнобедренного треугольника ученики уже имеют). Для индивидуального исследования целесообразно предложить задания по установлению признаков частных видов параллелограмма (прямоугольника, квадра;

Рис. 16.12.

та, ромба). Возможно организовать разноуровневую деятельность: формулировки могут быть найдены и признаки обоснованы самими учащимися, либо признаки формулирует учитель (указывает источник), а ученики выполняют обоснования, либо учитель показывает всю процедуру для одного из частных видов параллелограмма, а ученики самостоятельно работают с другими.

Учителю совместно с учащимися также при изучении темы следует провести классификацию четырехугольников, показав, что в зависимости от оснований классификации возможны различные определения квадрата — как ромба с прямыми углами или как прямоугольника с равными сторонами. Обязательно следует обратить внимание школьников на избыточность определений частных видов параллелограмма и уточнить эти определения. Целесообразно показать, что на основании признаков могут быть сформулированы иные определения фигур, например параллелограмма как выпуклого четырехугольника, у которого равны противоположные стороны.

Как мы уже отмечали выше, в одном разделе с четырехугольниками следует рассматривать и их площади. К моменту изучения этого вопроса в систематическом курсе геометрии ученики знают формулы площади квадрата и прямоугольника, площади круга, объема прямоугольного параллелепипеда и куба, могут быть знакомы со свойствами площади (объема), а также умеют вычислять площадь фигуры с помощью палетки.

Изучение площадей можно начать с лабораторной работы по вычислению площади произвольной фигуры, естественным продолжением которой станет выделение свойств площади (объема), на которых и строилась работа: аддитивности, положительности и др., которые и будут положены в основу выведения формул площади треугольников и четырехугольников.

Основным вопросом при изучении площадей фигур является обоснование известной ученикам формулы площади прямоугольника, как и при изучении объемов — объема прямоугольного параллелепипеда. После выполнения лабораторной работы учитель иллюстрирует идею доказательства формулы площади прямоугольника — покрытие фигуры единичными квадратами. Рассматриваются три случая: измерения — натуральные числа, длины сторон — обыкновенные дроби, одно из измерений — иррациональные числа, причем для этого можно выбрать конкретные числовые данные. В последнем случае рассматриваются приближения иррационального числа по недостатку и, но избытку, что порождает две последовательности прямоугольников с рациональными измерениями — процедура, аналог которой знаком ученикам из истории вычисления числа л. Обоснование формулы объема прямоугольного параллелепипеда проходит по той же схеме, только вместо единичных квадратов используются единичные кубики. Дальнейшая схема изучения площадей четырехугольников очевидна: прямоугольник разбивается диагональю на два прямоугольных треугольника (формула площади прямоугольного треугольника), произвольный треугольник — на прямоугольные высотой на большую сторону (формула площади треугольника), параллелограмм — на два треугольника и т. д.

Интересным случаем для организации самостоятельного поиска решения задач является формула площади трапеции, где возможны различные разбиения фигуры. Учитель на уроке после актуализации разбиения на части как одного из способов вычисления площади фигуры просит школьников предложить возможные разбиения трапеции на фигуры, формулы площади которых уже известны. Обычно школьники предлагают такие разбиения трапеции: на прямоугольник и два прямоугольных треугольника, на два треугольника, на параллелограмм и треугольник. На уроке целесообразно вывести формулу на основе одного из разбиений, а остальные варианты предложить для самостоятельной работы дома с последующей проверкой. Аналогичная схема в дальнейшем может быть реализована при обосновании формулы объема призмы. Используя формулу объема прямоугольного параллелепипеда, ученики на основе его разбиения выводят формулу объема прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник, затем произвольный треугольник, произвольный многоугольник.