Выбор одной из двух классических моделей. 
Практические аспекты

Величина 0, стоящая в левой части равенства (10.16), зависит от неизвестного параметра у, т. е. является ненаблюдаемой, так что полученный в § 10.1 критерий еще не дает ответа на вопрос, как осуществлять альтернативный выбор между моделями (10.1) и (10.2) на практике.

В реальности же мы располагаем лишь значением оценки:

Преобразуем величину 0. Для этого представим оценки g и Cov (g) в удобной для нас форме. Имеем:

Непосредственно перемножая матрицы, легко убедиться, что имеет место равенство МХ= 0. Таким образом, получаем:

В то же время е’е

где а² =-——оценка параметра ст² (см. (4.21)). Здесь е —

п-р-

столбец остатков регрессии (10.1). Таким образом, используя равенство (10.17), получаем:

или

где

Можно показать, что величина? принимает с равной вероятностью как положительные, так и отрицательные значения, в то время, как величина -^ге'Ве принимает лишь положитель;

о ные значения. Если число наблюдений п достаточно велико, значения а² и оценки а², как правило, близки. Таким образом, используя равенство (10.18), мы можем считать малые значения л.

наблюдаемой величины 0 достаточной предпосылкой малости и параметра 0. В частности:

/ч Оказывается, величина F = 0// (где / — число регрессоров Z) есть не что иное, как наблюдаемое значение статистики при обычном тестировании гипотезы о равенстве нулю коэффициентов у в модели (10.1). Если параметр у на самом деле равен нулю, /'имеет распределение Фишера—Снедекора).

В самом деле, явный вид этой статистики (см, например, [13]).

В то же время, используя (10.9), получаем:

€ 2 = УХЬ₂ = Xby + Zg + е_х — ХЪ — Xb_zxg= е_х — M_xZg. Отсюда.

и утверждение доказывается подстановкой (10.21) в (10.20).

Таким образом, может быть предложен следующий подход к альтернативному выбору модели: выбирается некоторое значение с. Если наблюдаемое значение /•'-статистики меньше с, то предпочитается модель (10.2), если больше с — то модель (10.1).

При этом пороговое значение с выбирается, вообще говоря,.

¹ /г произвольно, как правило, в границах — <�с < r_aj-«.^гД^е обычно, а = 0,05.

Рассмотрим более подробно случай / = 1, т. е. имеется один регрессор Z, относительно которого ставится вопрос о включении или невключении его в модель. В этом случае F = 0. Используя (10.19), получаем следующий критерий предпочтения:

В случае I = 1 (наличие одного «спорного» регрессора) модель (10.2) оказывается предпочтительней, чем модель (10.1), если наблюдаемое значение F-статистики при тестировании гипотезы у=0 оказывается меньше 1.

Получим еще одну формулировку приведенного критерия. Используем выражение (4.34') для скорректированного коэффициента детерминации R².

Соответственно для регрессий (10.1), (10.2):

где у = Y— У. Отсюда.

Таким образом, модель (10.2) оказывается предпочтительней модели (10.1), если скорректированный коэффициент детерминации при ydajWHuu регрессоров Z увеличивается (заметим, что простой коэффициент детерминации модели (10.1) всегда больше, чем модели (10.2)).