Диверсификация Марковица. 
Инвестиционный анализ

Ожидаемая доходность портфеля (6.2) и его дисперсия (6.3) зависят от структуры портфеля, т. е. от типов ценных бумаг и их доли от общего вложения. Можно построить оптимальный портфель, в котором доли ценных бумаг будут выбираться так, что риск будет минимальным. Впервые оптимальный портфель предложил Гарри Марковиц, в котором при фиксированном уровне доходности (6.2) и нормировании весовых коэффициентов (6.1) доли подбирались так, что дисперсия (6.3) становилась минимальной. Математически сказанное можно записать в виде.

при.

Оптимальное решение ищется с помощью метода множителей Лагранжа. Функция Лагранжа для условий (6.15) имеет вид

Оптимальный портфель находится из решения относительно Хр v и р системы линейных уравнений.

Для трех видов ценных бумаг функция Лагранжа приобретает вид.

Отсюда находим систему линейных уравнений (6.17) при условии а. = g":

j ij ji.

Приведенную оптимизацию портфеля ценных бумаг удобно провести в матричной форме. Характеристики рисковых ценных бумаг задаются матрицей ковариаций а, матрицей-столбцом ожидаемых доходностей а, матрицей-столбцом неизвестных долей х и единичной матрицей-столбцом I. Эти матрицы имеют вид.

Здесь — ковариации случайных доходностей i-й и j-й рисковых ценных бумаг, a,-, =oj:

С учетом введенных обозначений формулы (6.14) и (6.15) принимают вид.

Здесь х а', Г — транспонированные матрицы, в которых строки и столбцы поменялись местами. Например, транспонированной по отношению к матрице a_tJ является матрица а_/7.

Покажем справедливость формул (6.20)^[1]:

Таким образом, задача минимизации риска портфеля сводится к минимизации дисперсии портфеля.

при двух ограничивающих условиях.

Функция Лагранжа для (6.21) и (6.22) принимает вид.

Оптимальный портфель находится из решения относительно X: системы линейных уравнений (6.17). Продифференцировав (6.23) по х, о и р, получим.

Раскрыв эту систему, находим.

Полученная система уравнений совпала с полученной ранее для случая трех ценных бумаг. Иначе эту систему можно записать в виде

Обозначим матрицу риск-доходность через А, вектор [Xj, о, р| через X, а вектор правой части уравнения через В. Тогда уравнение (6.26) можно записать в виде.

Решая это уравнение, получим формулу для расчета неизвестных долей каждого типа рисковых ценных бумаг в оптимальном портфеле

где матрица-столбец матрица риск-доходность.

• 1. Выделить поле для записи обратной матрицы.
• 2. Нажать на кнопку «f_x».

• 3. В категориях «Математические» выбрать функцию «МОБР».
• 4. Выделить преобразуемую матрицу.
• 5. ОК.
• 6. F2 —> одновременно нажать кнопки CTRL + + SHIFT + ENTER.

Пример 6.3. Даны три типа ценных бумаг с характеристиками, приведенными в табл. 6.4. Уровни доходностей ценных бумаг не коррелированы.

Таблица 6.4