Метод доверительных интервалов

Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного параметра. Если известен закон распределения оценки или ее дисперсия, то можно указать пределы, в которых с большой вероятностью находится неизвестное значение параметра.

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью а покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания а случайной величины X, распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении о служит доверительный интервал x-t-j=

Vп V п

где t-Z= = S — точность оценки, п— объем выборки, х —

Vw.

выборочное среднее, t— аргумент функции Лапласа, при котором Ф (/) = —.

Если среднее квадратическое отклонение а неизвестно, то для оценки М[Х]=а служит доверительный интервал.

где /" находится в таблице по заданным п и «, а вместо s часто можно подставить любую из оценок.

исправленное среднеквадратическое, статистическое среднеквадратическое отклонения соответственно. При увеличении п обе оценки s и s будут различаться сколь угодно мало и будут сходиться по вероятностям к одной и той же величине о.

Заметим, что доверительный интервал зависит от объема выборки и дисперсии наблюдений. Увеличение объема выборки делает оценку среднего более надежной. Увеличение разброса наблюдаемых значений уменьшает надежность оценки. Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении о нормальности наблюдаемых величин. Если это предположение не выполнено, го оценка может оказаться ненадежной. При увеличении объема выборки качество оценки улучшается и без предположения нормальности выборки.

Обычно, в качестве доверительных вероятностей выбирают значения 0,95; 0,99; 0,999. Выбор той или иной доверительной вероятности производится исследователем исходя из практических соображений о той мере надежности, с какой делаются выводы о генеральных параметрах. Доверительная вероятность 0,95 считается достаточной в научных исследованиях в области физической культуры и спорта.

Найдем доверительный интервал для оценок с надежностью 0,9 и 0,95.

Вычисленная выборочная средняя равна х = 58,8 см, статистическое соеднеквалоатическое отклонение:

Из таблицы приложения 5 находим, что /₀₉ = 1,78, /₀₉₅ = 2,18. Подставляя полученные результаты в формулу, получаем доверительный интервал: 55,9<�а<61,6 и 55,2<�а< 62,3, для доверительной вероятности 0,9 и 0,95 соответственно.

Рис. 26. Доверительные интервалы для групп юных футболистов.

Интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью находится выборочное среднее генеральной совокупности х, называется доверительным интервалом. Кроме того, в математической статистике существует некоторое малое число а, значение которого предполагает вероятность того, что х выходит за границы доверительного интервала. В соответствии с принятыми доверительными вероятностями, ai= (1 — 0,95) = 0,05; a₂ = (l -0,99) = 0,01; a₃ = (l — 0,999) = 0, 001.