Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки с постоянной частотой

При расчете систем с несколькими степенями свободы рассмотрим, как и в параграфе 1.4, установившиеся колебания, т. е. изучим стационарный процесс, который наступает после затухания собственных колебаний. Вид нагрузки примем таким же, как и раньше, с теми же ограничениями (см. параграф 1.4). Однако в данном случае допускаем, что обобщенная вибрационная нагрузка может быть приложена в любом месте к конструкции и не обязательно к массе. По-прежнему не будем учитывать диссипативные силы.

В отличие от задач статики, при динамическом воздействии все перемещения и усилия в конструкции будут функциями не только внешней нагрузки, но и даламберовых сил инерции, возникающих при колебаниях. Поэтому если определить силы инерции, то любое усилие S в каком-либо сечении k для определенного момента времени можно найти исходя из линейности задачи:

Здесь S_kj₉j = 1, 2, …, п, — усилия в заданной системе от единичных сил, приложенных по направлению действия сил инерции; S_kF — усилие от внешней нагрузки, тоже в заданной системе. Если система статически неопределимая, то для их получения необходимо выполнить статический расчет конструкции любым методом. Итак, чтобы решить динамическую задачу, нужно вычислить силы инерции.

Рассмотрим произвольную систему с п степенями свободы и составим для ее масс выражения перемещений типа (2.1). Но в данном случае к правой части этих выражений добавим еще обобщенные перемещения от заданной обобщенной вибрационной нагрузки:

Назначение коэффициентов податливости Ь_]к — такое же, как и в параграфе 2.1.

При установившихся колебаниях все перемещения и, кстати, внутренние усилия будут следовать закону изменения возмущающей силы, т. е.

где cij — амплитуды вынужденных колебаний масс. Ускорения масс равны вторым производным по времени:

а силы инерции по определению (Д.4) будут равны.

Используя соотношения (2.15), выразим перемещения через силы инерции:

Теперь заменим выражениями типа (2.16) перемещения в соотношениях (2.14). В итоге в них неизвестными останутся только силы инерции. Перенесем в соотношениях (2.14) все члены влево и выполним приведение подобных членов. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых сил инерции.

Так как все силы изменяются по одному и тому же закону во времени, то зависимость между ними справедлива в любой момент времени. Этот факт позволяет в качестве такого времени принять момент, когда sin 0^ = 1, и из уравнений (2.17) определять не переменные силы инерции/,(?), ^а их максимальные значения, т. е. амплитуды J_}. Перепишем уравнения (2.17) с учетом обозначения (2.18):

Алгебраические уравнения (2.19) позволяют определить максимальные (амплитудные) значения сил инерции и через них уже определить любое перемещение или усилие, используя зависимость (2.13).

Уравнения (2.19) внешне напоминают канонические уравнения метода сил. Но по содержанию они существенно отличаются от них. Во-первых, все коэффициенты и свободные члены определяются не в основной, а в заданной системе. Во-вторых, главный коэффициент определяется выражением (2.18), из которого следует, что этот коэффициент может быть не только положительным, но и отрицательным и, что еще более существенно, может быть равным нулю.

Для выявления последствий этого факта представим решение уравнений (2.19) с использованием правила Крамера/, = -Dj/D, где D — определитель системы уравнений (2.19), состоящий из коэффициентов при неизвестных силах инерции.

Запишем его с учетом соотношения (2.18):

Вынесем за знак определителя из каждого столбца множитель 1 /т-.

Если в этом определителе заменить 0 любым значением частоты свободных колебаний со и учесть обозначение (2.5), то получим характеристическое уравнение (2.7). Как известно (см. параграф 2.2), оно равно нулю. Следовательно, при совпадении частоты возмущающей силы с любой из частот свободных колебаний определитель |D| будет равен нулю. И по правилу Крамера очевидно, что в этом случае силы инерции будут стремиться к бесконечности. Последнее свидетельствует о том, что в системах с несколькими степенями свободы резонанс будет иметь место при совпадении частоты возмущающей силы с любой из частот свободных колебаний. Выявленное обстоятельство необходимо учитывать при проектировании конструкций, определяя не одну низшую частоту свободных колебаний, но и последующие частоты. А затем их сравнивать с возможными частотами возмущающих сил, прежде всего для стационарного процесса.

Следует иметь в виду, что приведенное решение получено без учета диссипативных сил. Учет последних, как и в случае систем с одной степенью свободы, дает при 0 = со. конечные значения усилий и перемещений, но они будут относительно большими, недопустимыми по нормам, если, конечно, они не приведут к разрушению конструкции.

С целью сокращения трудоемкости динамического расчета симметричных систем рекомендуется, как и при статическом расчете, использовать либо группировку неизвестных сил инерции, либо разложение нагрузки на симметричную и кососимметричную. При разложении нагрузки рассматривается по половине системы с соответствующими граничными условиями (см. параграф 2.5), а затем результаты суммируются. Для симметричных систем справедливы следующие положения:

• 1) ири действии симметричной вибрационной нагрузки все кососимметричные неизвестные силы инерции равны нулю и наоборот;
• 2) во всякой симметричной системе ири симметричной (кососимметричной) нагрузке явление резонанса будет иметь место только в тех случаях, когда частота вибрационной нагрузки совпадает с частотами свободных колебаний, которым соответствуют симметричные (кососимметричные) формы колебаний. При этом следует помнить об идеализации периодических колебаний (см. параграф Д.2).