Многодисковые рамы и комбинированные системы

Рамой принято называть стержневую систему, стержни которой во всех или некоторых узлах жестко соединены между собой и которая теряет свою геометрическую неизменяемость, если все узлы заменить шарнирными.

В инженерной практике принято стержни рамы разделять на стойки (вертикальные стержни), ригели (горизонтальные стержни) и подкосы (наклонные стержни).

Если расчетная схема, кроме жестко соединенных дисков, содержит прямолинейные стержни с шарнирами по концам и не загруженные поперечной нагрузкой, такая схема называется комбинированной.

В основу анализа образования статически определимых рам и комбинированных систем положено выявление геометрически неизменяемых частей расчетной схемы (см. подпараграф 1.5.1) и их соединение между собой.

Наиболее простым является образование, аналогичное образованию шарнирно-консольных балок (см. подпараграф 3.2.2), при котором прямолинейные стержни заменены стержнями с осью ломаного очертания.

Например, в раме, изображенной на рис. 3.22, а, диск Д) является основным, к которому последовательно присоединены второстепенные диски Д₂ и Д₃ (рис. 3.22, б).

Рис. 3.22.

Для этой рамы при Д = 3, С_оп = 5 и Ш = 2 выполняется необходимое условие геометрической неизменяемости (1.4), т. е. 3−3-2−2-5 = 0, и порядок образования, приведенный на рис. 3.22, б, показывает, что расчетная схема действительно геометрически неизменяема.

Порядок расчета данной рамы показан на рис. 3.22, г.

Другим простейшим образованием расчетной схемы рам является последовательное присоединение «триад» (рис. 3.23, а), т. е. поэтажная установка трехшарнирных рам. В этом случае порядок расчета (рис. 3.23, г) будет обратным порядку образования расчетной схемы (рис. 3.23, в).

Рис. 3.23.

Аналогично присоединение «триады» может быть произведено к любой части или элементам расчетной схемы. Так, на рис. 3.24, а показано образование расчетной схемы путем установки «триады» (трехшарнирной рамы) на консольные балки (рис. 3.24, б). Порядок расчета такой схемы (рис. 3.24, г) является обратным порядку ее образования (рис. 3.24, в), т. е. при расчете сначала определяют реакции в трехшарнирной отсеченной раме, а затем в консольных балках.

Рис. 3.24.

Присоединенная «триада» может быть как распорной (см. рис. 3.23 и 3.24), так и с затяжкой. На рис. 3.25, а показана расчетная схема, в которой геометрически неизменяемое образование Д₂, «триада», содержит в качестве одного из элементов прямолинейный стержень с шарнирами по концам (затяжку).

Произведем анализ данной расчетной схемы.

Она содержит (рис. 3.25, 6) в себе: дисков Д = 4 (стержни: АВ, ВС, CD и BD); число опорных связей С_ои = 4 (три связи в опоре А и одна связь в опоре С), число простых шарниров Ш = 4 (два в кратном шарнире В и один в С, соединяющий стержни ВС и CD).

Необходимое условие геометрической неизменяемости (1.4) для схемы выполняется, так как 3*4−2*4−4 = 0.

Рис. 3.25.

Анализ геометрической структуры схемы показывает, что она является геометрически неизменяемой, так как неизменяемая триада Д₂, объединяющая стержни ВС, CD и BD, имеет две связи в точке В с неизменяемым диском Д! и одной связью в точке С прикреплена к основанию. Все три связи по отношению к диску Д₂ не параллельны, и оси их не сходятся в одной точке. Следовательно, присоединение диска Д₂ неизменяемо.

В этом легко убедиться на основании показанного на рис. 3.25, в укрупненного аналога поэтажной схемы.

Так как доказана геометрическая неизменяемость составных частей, то и вся расчетная схема будет геометрически неизменяема.

Порядок расчета, обратный порядку образования схемы (рис. 3.25, д), приводит к нижеследующей последовательности уравнений равновесия для определения реакций в связях анализируемой рамы при действии какой-либо нагрузки, например силы /•'(рис. 3.25, е).

• 1. Равновесие диска Д₂:
  • — ?Т/};^|РЛВ = о, определяется V_c (зона определения на рис. 3.25, е показана штриховой линией);
  • — ИХ = 0, определяется В_х;
  • — ?М1,^1РЛВ = о, определяется N_x (зона определения на рис. 3.25, е показана штриховой линией);
  • — ХУ = 0, определяется В_(у.
• 2. Равновесие диска Др
• — HY = 0, определяется V_A
• — ИХ — 0, определяется Н_А;
• — ИМ_В — 0, определяется М_л.

Проверки равновесия всей схемы (рис. 3.25, ж):

НХ = 0, IF-О, ИМ_А = 0.

Рассмотрим примеры определения реакций в связях многодисковых и комбинированных систем.

Пример 3.11.

Требуется определить реакции в связях многодисковой рамы (рис. 3.26, а).

Рис. 3.26.

Решение. Рама образована из трех дисков, соединенных по способу триады, т. е представляет собой геометрически неизменяемое образование — единый диск. Этот диск прикреплен к основанию тремя линейными связями, не параллельными и не сходящимися в одной точке. Следовательно, геометрическая неизменяемость расчетной схемы обеспечена.

Так как расчетная схема имеет «балочное» закрепление (три опорные связи), опорные связи определяются как в простой балке (рис. 3.26, б).

Для дальнейшего расчета проведем сечение по шарнирам DE (рис. 3.26, в) и рассмотрим равновесие правой отсеченной части рамы, в которой реакции в шарнирах D и Е определим как в трехшарнирной системе (3.11).

Совместно решив данные уравнения, найдем Е_у = Е_х = 2 кН.

Совместно решив последние два уравнения, найдем D_x = 4 кН, D_y = 2 кН.

Пппнрпк-а тннпнррыа правой отсеченной части (рис. 3.26, г):

Проверка равновесия левой отсеченной части (см. рис. 3.26, г)

Уравнения равновесия выполняются, следовательно, реакции определены верно.

Пример 3.12.

Требуется определить реакции в связях комбинированной системы (рис. 3.27, а). Решение. В комбинированной расчетной схеме, загруженной горизонтальной силой, стержни 1 и 2 представляют собой линейные связи между ее вертикальными стержнями.

Рис. 3.27.

Расчетная схема образована по принципу «триады». Два вертикальных стержня (диски) прикреплены к основанию двумя шарнирами в точках Л и В, третий шарнир

(фиктивный) располагается на пересечении линий действия связей 1 и 2 в бесконечности. Таким образом, три шарнира соединения не лежат на одной прямой, и расчетная схема является геометрически неизменяемой.

Опоры А и В имеют по две реакции (рис. 3.27, 6), которые непосредственно из уравнений равновесия для всей расчетной схемы определить не представляется возможным. Поэтому удалим связи между дисками 1 и 2, заменив их реакциями N, и N₂ (рис. 3.27, в).

Из условий равновесия правой отсеченной части схемы:

1Y = 0; V_B=0;

XМ_в = 0; -N, -6-N₂ — 2 = 0.

Из условий равновесия всей расчетной схемы:

ХУ = 0; V_B-V_A=0, V_A = 0;

ХЛ/д=0; tf _л • 2 + 4−8 = 0, Н_А=-16 кН;

XМ_л = 0; 410-Яд -4 = 0, Н_в = 10 кН.

Из условий равновесия левой отсеченной части схемы:

?М_Л = 0; 4 • 10 + Я, • 8 + N₂- 4 = 0.

Совместно решив 2jM_b = 0 и 2jM_a = 0, найдем N_x = 10 кН, Я₂= -30 кН.

Проверки расчета:

• — из условий равновесия правой отсеченной части схемы (рис. 3.27, г)
• 1х = 16−30+10 + 4 = 0;
• — из условий равновесия левой отсеченной части схемы (см. рис. 3.27, г)

Хх=30 — 10 — 20 = 0;

— из условий равновесия всей расчетной схемы (рис. 3.27, Э) ЕХ = 4 + 16 — 20 = 0.

Уравнения равновесия выполняются, следовательно, реакции определены верно.

Пример 3.13.

Требуется определить реакции в связях многодисковой рамы (рис. 3.28, а).

Решение. Статически определимая рама прикреплена к основанию двумя полными защемлениями (опоры А и 7) и одной шарнирно-подвижной опорой I, т. е. С_оп = 7. Расчетная схема рамы составлена из семи дисков (Д = 7), соединенных семью шарнирами (Ш = 7).

Таким образом, необходимое условие геометрической неизменяемости (1.4) выполняется, так как 3−7-27−7 = 0.

Диски LDE, ЕК и LPK образуют неизменяемое соединение (триаду), которое можно считать одним неизменяемым диском Д₃ (рис. 3.28, 6).

Таким образом, в расчетной схеме рамы имеем три неизменяемых диска: Д_{ и Д₄, являющиеся основными, так как они прикреплены полными защемлениями к основанию, и уже упомянутый диск Д₃. Диск Д₃ имеет три внешних по отношению к себе связи — две связи соединяют его с неизменяемым диском Д₄, и одной связью в опоре L он соединен с основанием. Расположение и направление осей этих связей удовлетворяют требованиям геометрической неизменяемости — оси этих связей не параллельны и не сходятся в одной точке. Следовательно, соединение Д₃ — Д₄ является геометрически неизменяемым.

Аналогично доказывается геометрическая неизменяемость диска Д₂, также присоединенного тремя связями (двумя в точке В и связью 1) к неизменяемым частям расчетной схемы.

Так как доказана геометрическая неизменяемость составных элементов расчетной схемы, вся схема является геометрически неизменяемой.

Порядок ее образования показан на рис. 3.28, в, следовательно, порядок расчета будет таким, как показано на рис. 3.28, г.

Порядок образования схемы Порядок расчета.

Рис. 3.28.

Для определения реакций в связях удалим связь 1 и заменим ее действие реакцией N_{ (рис. 3.28, д).

Из условий равновесия левой отсеченной части схемы.

Из условий равновесия правой отсеченной части схемы.

Далее необходимо найти реакции в связях диска Д₃. Для этого удаляем связь 2 и заменяем ее действие реакцией N₂ (рис. 3.28, е). В узле Р прикладываем реакции, определенные из равновесия диска Д₄.

Примечание. Расчет реакций связей в шарнирах В и L, а также проверки расчета предлагается при разборке примера выполнить самостоятельно.

На рис. 3.28, ж показана схема рамы для проверки условий равновесия всей системы, а на рис. 3.28, з приведены значения реакций во всех удаленных связях.