Краткие сведения о потере устойчивости оболочек

Как известно, расчет оболочек сложнее, чем расчет стержневых систем, так как каждая форма оболочки имеет свои особенности и свои дифференциальные уравнения. Поэтому в этом параграфе рассматриваются отдельные виды оболочек. Общим для всех видов оболочек является тот факт, что оболочка может потерять устойчивость как в «большом», так и в «малом» (см. параграф У.1).

Из-за наличия несовершенств в форме реальных оболочек получить экспериментально значение критической нагрузки в «большом» удается редко.

При нагрузках, меньших нижней критической, оболочка оказывается устойчивой и в «малом», и в «большом».

Сначала получим основные уравнения для оболочки кругового очертания, как наиболее простой, тем более что в исследованиях по устойчивости оболочек наибольшее внимание уделяется круговым цилиндрическим оболочкам. Оболочки такого очертания отвечают, как правило, требованиям наименьшего веса конструкции и простоты изготовления; поэтому они широко применяются во всех областях техники. Цилиндрические оболочки входят в конструкции летательных аппаратов, подводных лодок, резервуаров, трубопроводов и т. д. [4].

Выпучивание цилиндрических оболочек может произойти в тех случаях, когда они подвергаются действию осевого сжатия, поперечного давления, кручения, изгиба, причем эти нагрузки встречаются либо отдельно, либо в различных сочетаниях. В дальнейшем рассмотрим задачи об устойчивости оболочек при этих видах нагружения.

Прежде всего приведем основные соотношения линейной теории круговых цилиндрических оболочек постоянной толщины h. Обозначим радиус кривизны срединной поверхности через R. В качестве параметров, определяющих положение любой точки срединной поверхности, выберем координаты х и у, откладываемые соответственно вдоль образующей и по дуге (рис. 12.16).^[1]

Рис. 12.10. Цилиндрическая круговая оболочка.

Перемещения вдоль этих линий и по нормали обозначим через и, v и w, прогибы w считаем положительными, если они направлены к центру кривизны.

Первая квадратичная форма срединной поверхности будет здесь Выражения для деформаций в срединной поверхности имеют вид.

параметры изменения кривизны будут.

Отметим, что для параметра v в литературе применяется и другое выражение:

его можно получить из выражения (12.60), если принять условие «нерастяжимости» срединной поверхности в направлении дуги: в = 0; тогда будет.

В дальнейшем при рассмотрении изотропных оболочек в этом параграфе будем вводить в основные соотношения не усилия N_r, N_y, 5, а непосредственно напряжения в срединной поверхности:

Уравнения равновесия в проекциях на ось х, касательную к линии у и ось 2 перепишутся в виде.

В итоге получили один из вариантов уравнений теории цилиндрических оболочек в перемещениях.

Обратимся теперь к упрощенному варианту линейной теории оболочек. Упрощенные выражения для изменений кривизны имеют вид.

Легко видеть, что окончательные выражения для деформаций (12.59) и параметров кривизны (12.70) совпадают с такими же выражениями в теории пластинок; исключение составляет формула для е_у, включающая здесь дополнительный член (-zv/R). Первые два уравнения равновесия (12.66) приобретают вид Они аналогичны соответствующим уравнениям для элемента пластинки. Это позволяет ввести функцию напряжений (р (см. параграф 3.5):

Уравнение совместимости деформаций получит вид.

Продолжая далее процедуру вывода уравнений, подробно изложенную в работе [4 (параграф 123)], приходим к окончательным уравнениям.

В результате получили известную систему уравнений смешанного типа относительно прогиба w и функции напряжений (р, лежащую в основе многих исследований. При решении задач устойчивости оболочек в уравнение (12.74) надо подставить.

Для случая безмоментного основного состояния фиктивная поперечная нагрузка q_z равна сумме дополнительных проекций основных усилий р_х, р_у, s на направление нормали к изогнутой поверхности.

В развернутом виде уравнение (12.74) будет иметь такой вид:

Далее уравнения (12.76) и (12.75) можно привести к одному разрешающему уравнению, если напряжения р_х, р, 5 не зависят от координат:

Пример 12.4. Рассмотрим расчет на устойчивость круговой цилиндрической оболочки, подвергающейся сжатию вдоль образующей усилиями р_У равномерно распределенными вдоль дуговых кромок (рис. 12.17).

Рис. 12.17. Круговая цилиндрическая оболочка, подвергнутая сжатию.

Этот случай нагружения представляет большой практический интерес. Например, корпус летательного аппарата подвергается на участке разгона действию сжимающих усилий, передающихся от двигателя. Некоторые другие задачи сводятся к использованию результатов, относящихся к случаю центрального сжатия, в том числе задача об устойчивости оболочек при изгибе.

Вместе с гем круговая оболочка, сжатая вдоль образующей, является своего рода эталоном, служащим для сопоставления теоретических и экспериментальных данных и проверки различных подходов в теории устойчивости оболочек.

Эксперименты и наблюдения над реальными конструкциями показывают, что характер выпучивания сжатых оболочек на практике совсем не такой, каким он рисуется, если исходить из линейной теории. Критические напряжения в опытах получаются здесь в три-четыре раза меньше, чем это вытекает из исследования оболочки в малом. Более полное решение этой задачи может быть осуществлено с помощью нелинейной теории оболочек. Таким образом, эта классическая задача, являющаяся на первый взгляд элементарной, таит в себе неожиданные затруднения.

Рассмотрим устойчивости оболочки в «малом». Будем считать, что оболочка длиной L шарнирно оперта по торцам. Воспользуемся дифференциальным уравнением (12.77); оно принимает в данном случае вид.

Граничные условия для w будут w = 0, °-^т₎ = 0 при х = 0, х = L.

ох

Определенных условий по отношению к перемещениям и, v не ставится.

В качестве первого варианта решения примем, что изогнутая поверхность оболочки после выпучивания является осесимметричной, т. е. поперечные сечения остаются круговыми. Тогда w будет зависеть только от х и уравнение (12.78) переходит в следующее.

Примем для w выражение удовлетворяющее граничным условиям; здесь т — число полуволн изогнутой поверхности вдоль длины. Очевидно, при таком характере выпучивания каждая продольная полоска находится в тех же условиях, что и сжатый стержень на упругом основании (см. параграф 9.4); таким «основанием» здесь служат дуговые волокна.

Подставляя выражение (12.80) в уравнение (12.79), находим.

Определим минимальное значение р, приравнивая к нулю производную от р по X; при этом будем считать, что т J5> 1. Тогда получим где.

Обозначим через р_п верхнее критическое значение напряжения, соответствующее точке бифуркации для линейной задачи; предыдущие соотношения дают При р = 0,3 имеем.

Формула (12.83) является фундаментальной в теории устойчивости оболочек. Она показывает, что отношение верхнего критического напряжения сжатия к модулю упругости материала того же порядка, что и отношение толщины оболочки к радиусу кривизны срединной поверхности.

Судя по формуле (12.82), длина полуволны /_г равна.

так что величина ее — порядка -jRh. Форма потери устойчивости показана па рис. 12.18, а, что соответствует функции (12.80).

(LY

а б.

Рис. 12.18. Формы потери устойчивости круговой цилиндрической оболочки В случае весьма короткой оболочки, если ~ <�К 1, надо положить т — 1,.

V" /.

и дифференцирование выражения (12.81) по X становится неправомерным. Но тогда X будет велико, так что вторым членом в выражении (12.81) окажется возможным пренебречь по сравнению с первым; отсюда.

В результате получили формулу Эйлера для полоски, вырезанной из оболочки в направлении образующей.

Обратимся теперь к более общему варианту решения задачи и допустим, что изогнутая поверхность не является осесимметричной; тогда надо исходить из дифференциального уравнения (12.78).

Примем для w выражение, также удовлетворяющее граничным условиям:

где т — число полуволн по образующей; п — число полных волн вдоль окружности.

Подставляя выражение (12.87) в уравнение (12.78), находим.

Отмстим, что величины 9 и г| можно выразить через длины полуволн изо;

^nR, I.

гнутой поверхности вдоль дуги (/ = —) и по образующей (1_Х = —):

п т

Таким образом, параметр 9 характеризует очертания вмятины, ар— длину полуволны I. Из уравнения (12.88) находим.

Считая числа тип достаточно большими, найдем минимум р из условия.

Соответствующее напряжение р_в определяется формулой, в точности совпадающей с формулой (12.83).

В рамках приведенного решения нельзя установить однозначно форму волнообразования оболочки; величины г| и 8 должны лишь удовлетворять условию.

Если предположить, что волны являются квадратными (8=1), получим г| = 0,825; отсюда п_н =

Следовательно, потеря устойчивости оболочки в малом с образованием вмятин, расположенных в шахматном порядке, происходит при том же критическом напряжении, что и в случае осесимметричного выпучивания, причем число волн.

R

вдоль дуги — порядка — (рис. 12.18, б). Но это справедливо только для изотроп;

п

ных оболочек.

• [1] См.: Безухов Н. И., Лужин О. В., Колкунов Н. В. Устойчивость и динамика сооружений.