Уравнения термоупругости для изотропной среды

Для изотропного тела задача термоупругости существенно упрощается. Связь напряженного и деформированного состояний будет определяться теперь лишь двумя упругими константами: коэффициентами Лямэ Л и /i (или эквивалентной им совокупности модулей упругости и коэффициента Пуассона и) и скаляром коэффициентом температурного расширения а. Для замыкания задачи необходимо определить также и характеристики среды: ее плотность и удельную теплоемкость при постоянной деформации.

Тепловой ноток в изотропной среде будет представляться через градиент температуры с помощью единственного теплофизического коэффициента — теплопроводности Х_ч: q = —A_f/grad Т или </* = = —_qTi. Иногда удобно ввести в рассмотрение так называемые адиабатические коэффициенты Лямэ:

Связь между теплоемкостями, эквивалентная известному для идеального газа соотношению Майера, имеет для изотропной среды вид

Тепловое расширение тела в условиях изотропности будет характеризоваться единственным коэффициентом температурного расширения а. Желание учесть зависимость этого коэффициента от температуры приводит к использованию вместо него его осредненного значения в том диапазоне температур, в котором рассматривается явление:

Соотношения Дюамеля — Ноймана для изотропной среды примут вид обобщенного закона Гука:

Эта же зависимость, обращенная относительно деформаций, имеет вид.

В случае изотропного тела энтропия Уравнение теплопроводности принимает вид.

Уравнения движения и соотношения Коши нс меняются.

представляет связанную динамическую задачу термоупругости в случае изотропного тела. Эта задача требует знания констант: д, А, а, Се? j Р-

Для задачи термоупругости можно провести цепочку преобразований <�т *— е <— и; в результате уравнения движения и энергии образуют замкнутую систему относительно вектора перемещений и и приращения температуры в. Такой вид соответствует известной постановке задачи линейной теории упругости в перемещениях. Данная система уравнений будет иметь вид (запишем ее в векторной безыидексной форме).

Обратим еще раз внимание на уравнение теплопроводности, которое распишем в привычных для математической физики обозначениях производных:

Член связности обусловлен производством тепла за счет работы напряжений. Заметим, что это не вся работа, а только та ее часть, которая не связана с изменением кинетической энергии тела и составляет диссипативный (необратимый) процесс перехода механической энергии в тепло.