Р-адические статистические тесты

Будем использовать следующие обозначения. Для каждого множества А/ С X*у положим = {.г € А/: /(.т) = /?.}, /г = 1.2,…. Для каждого множества W С Х^? х N. положим И^т_т = {.т € X⁴: (.т, т) 6 И }. Таким образом, = {.г € X*: /(х) = п, (х, т) € И'}.

Всюду в этой главе мощность (конечного) множества А обозначается символом <�т{А). Мы не используем общепринятый символ А, поскольку не хотим употреблять выражения вида | А _р (для р- адической нормы мощности).

Следующее определение р-адичсского статистического теста я валяется естественным обобщением определения Мартин-Лёфа, для обыкновенных вещественных вероятностей (для равномерного распределения).

Определение 1. Пусть Р — р-адическая рекурсивная вероятность. Рекурсивно перечисляемое (р.п.) множество V С X* х N называется р-адическим Р-тестом (р-адическим статистическим тестом для распределения вероятностей Р), если оно обладает следующими двумя свойствами: для всех п, т 6 N. верно включение

и.

Использование р-адических статистических тестов даёт возможность формализавать (фактически, создать) р-адическую статистику. Нам задано вероятностное пространство X*¹ с ассоциированным р-аднческнм распределением вероятностей Р. Дан элемент х из вероятностного пространства, мы хотим проверить гипотезу «х является типичным результатом». Свойство быть типичным есть свойство принадлежности к нриемлимому большинству. Чтобы установить принадлежит ли данный элемент выборочного пространства к отдельному нриемлимому большинству, мы используем понятие теста. Также как и в обыкновенной теории вероятностей, тест задаётся предписанием, которое для каждого уровня значимости е = ф; говорит нам для каких элементов х 6 X* гипотезу «х принадлежит большинству М в А'*» следует отбросить при е = 1 —Р (Л/). Множество V_m является критической областью для уровня значимости е = -X. Если х принадлежит К_п, тогда гипотеза «х принадлежит большинству М^у отбрасывается с уровнем значимости е. И мы говорим, что а: не проходит теста на уровне критической области V_m. Безусловно, существует большая разница между ‘р-адическим большинством' и обыкновенным ‘вещественным большинством'. Популяции очень большие с точки зрения обыкновенного вещественного анализа могут оказаться очень маленькими с точки зрения р-адической вероятности и наоборот.

Мы будем изучать только равномерное р-адическое распределение вероятностей. Везде далее будем использовать обозначение Р вместо Р_;>, р ф 2. Статистические тесты для такого распределения вероятностей мы будем просто называть р-адическим тестом. Здесь условие.

(3.1) может переписаться в следующем виде:

• (поскольку Р(U_x) = ф при х? Vm^ и |2ⁿ|_p = 1 при р ф 2, то соотношение
• (3.1) имеет вид: Е_хе^^{п) 1} _р —

Предложение 3.1. Пусть V р-адический тест. Тогда, для каж дого (х, т) € V, имеем оценку:

Доказательство. Пусть п = 1(х). Так как х € V_m, имеем Vm Ф W и, согласно неравенству (3.2), величина (r (Vm^) делится на р^т. Значит, верна цепочка неравенств 2″ = о (Х^п) > cr (Vm) > Р^т- Их этого следует неравенство (3.3). ?

Предложение 3.2. Пусть V — р-адический тест. Тогда, для каждого k > т, п? N, имеет.место оценка

Доказательство. Так как vj^ С Vm имеем:

Согласно усиленному неравенству треугольника, получаем: |o^r(V^" V^" ^)|_p <

юах (|<�т (Кп" ⁾)|р, k (V/" ')|p) = 1 /р^т. ?

Как и обычно, обозначим целую часть действительного числа х через [гг]. Условие (3.3) можно переписать в виде.

Функция Л (п) = [nlog_p2], п € N, будет играть важную роль в наших дальнейших рассуждениях. Для любого р-адического теста V и натурального п, могут быть непустыми только множества Vm, т = 1? • • • j Л (п).

Теперь приведем немного примеров р-адических статистических тестов. Все эти тесты связаны с поведением сумм:

Пример 3.1. Положим.

Для того, чтобы показать, что множество V = {(х, т): х € V_m} является р-адическим тестом, нам нужно только показать, что справедливо неравенство (3.2). Имеем:

где 0 < к < п и М_р(к) < М_р(п), Чтобы получить оценку (3.2),.

достаточно применить усиленное неравенство треугольника и лемму 2.1. Пример 3.2. Положим.

Используя лемму 2.2, получим, что соотношение (3.2) имеет место для множества V_m. Значит, множество V = {(.г, т): х € V_m} является р- адическим тестом.

Пример 3.3. (Конечные тесты) Пусть число п 6 N фиксировано. Пусть Т — некоторое подмножество множества Х^п, <�т{Т) = р~^{Л (,}Ф Положим И^/т*⁾ = Т при m = 1, …, А (?г) и vj¹^ = 0, j > А (л), a Vj^ = 0, к ф п, при всех j = 1,2, — Тогда множество V = {(х, m): х? V_m}, где V_m = UgLjKn тоже р-ади чески й тест.

Чтобы проиллюстрировать статистический смысл тестов (3.4) и (3.5), полезно рассмотреть некоторые их подмножества, соответствующие фиксированным значениям М_р{п) и M_p(S (x)).

Начнём с теста (3.4). Полагаем.

Этот тест связан с выборками вида.

Такая выборка должна отбрасываться с уровнем значимости е = ^ если 1 > |5(х)|_р > p^ml (x) — 1|_р = p^m~^N. Таким образом, тест V'(1,0) отбрасывает все выборки вида х = (х_ь…, x_1+Jpjv), (j, р) = 1, в которых сумма.

S (x) = х 4——--x_l+j_ps не делится па достаточно высокую степень числа р (по делится на р¹).

Выборка х вида (3.7) с суммой 5(х) = гр^к, (i, p) = 1, к> 1, отбрасывается с уровнем значимости е = 1 /р^т if к < N — га.

Для теста (3.4) и Л/_р(/(.т)) = 1, можно также зафиксировать значение M_p(S (x)) = 1 и получить новый тест:

Выборка х вида (3.7) должна отбрасываться с уровнем значимости? = если.

Значит, тест V (l, 1) отбрасывает все выборки х вида (3.7) для которых число S (x) — 1 на делится на достаточно большую степень числа р (но делится на р¹).

Точно таким же способом, фиксируя Мр (п) = $ = 0,1 мы получим тесты V_rn{s, q), q = 0,… ,$. Тест V ($, q) отбрасывает некоторые выборки вида.

а, именно, те выборки для которых число S (x)—q не делится на достаточно большую степень р (но делится на р¹). Выборка х вида (3.8) с суммой S (x) = q + г/г, (г.р) = 1, к > 1, отбрасывается с уровнем значимости е = 1 /р^т если к < N — т.

Теперь изучим тест (3.5). Из условия M_p(S (x)) > M_p(l (x)) + 1 > О следует, что этот тест используется для отбрасывания (с некоторым уровнем значимости) тех выборок, для которых сумма S (x) нс делится на р (ср. с (3.6)). Полагаем.

С помощью этого теста, мы отбрасываем с уровнем значимости е = все выборки вида х = (од,…, Xj_pn), (j, р) = 1, для которых N < т и M_p(S (x)) = 1. Можно сравнить тест V(0,1) с тестом V(0,0). Последний используется для отбрасывания выборок того же вида, но с суммой S (x), делящейся на р: S (x) = ip(г, р) = 1, к > 1. Выборка отбрасывается с уровнем значимости? = ф. если к < N — т.

Можно ввести р-адический тест О, который содержит в себе все случаи делимости на р суммы S (x). Начнём со следующего простого факта.

Предложение 3.3. Пусть Ф и Ф — два р-адических теста, такие, что Ф П Ф = 0. Тогда множество Г = Ф U Ф является р-адическим тестом с критическими областями Г_т = Ф_т U Ф_т на уровне значимости

Доказательство. Нам нужно только показать, что верно неравенство (3.2). Имеем:

Теперь вернёмся к тестам V и V, определённым в примерах 3.1, 3.2. Очевидно, что V_mnV_m = 0 при всех т. Следовательно, множества Е_т = V_m U V_m дают критические области (с? = р-адического теста? = {(т, т): х € ?_т}.