Решение уравнения, описывающего агрегацию включений

Рассмотрим методику численного решения интегро-дифференциального уравнения (14.2), описывающего процесс агрегации включений. В левой части данного уравнения находятся две производные, описывающие изменение функции распределения включений по размерам / во времени и пространстве; правая часть, содержащая два интеграла, характеризует изменение функции / за счёт процесса агрегации включений (то есть, за счёт изменения их размера). Таким образом, в данном случае функция / является функцией трёх независимых переменных — t, хиг. Также в правой части уравнения (14.2) имеется вероятностная функция К, значения которой зависят от размера включений.

Таким образом, для записи разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (14.2), требуется ввести трёхмерную разностную сетку (по осям которой отложены независимые переменные — время t, координата подлине реактора х и размер включений г), а также обозначения, аналогичные обозначениям (14.8).

Для аппроксимации производной по времени будем использовать правую конечную разность. Выбор конечной разности для аппроксимации производной по координате определяется знаком величины и, характеризующей скорость перемещения включений. Для аппроксимации интегралов будем использовать выражение (14.4) и принцип замороженных коэффициентов. Учитывая всё сказанное, запишем схему расщепления, аппроксимирующую уравнение (14.2) для случая v > 0:

Первая подсхема схемы расщепления (14.10) является неявной по переменной х и явной по переменной г; вторая подсхема является неявной по переменной г. Схема (14.10) имеет первый порядок аппроксимации по каждой из независимых переменных:

Каждая из подсхем, составляющих схему (14.10), является абсолютно устойчивой и решается с помощью соответствующего рекуррентного соотношения: