Комплексное переменное и функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного

Понятие функции комплексного переменного.

Рассмотрим множество Е комплексных чисел и условимся, что комплексное число z = x-y yi может быть отождествлено с каждым числом этого множества Е; в таком случае мы назовем z комплексным переменным, а Е ?—его областью изменения. Геометрически область Е изменения комплексного переменного z изобразится посредством множества точек в комплексной числовой плоскости или на числовой сфере. Попрежнему мы будем обозна" ать это множество точек через Е и будем его называть областью изменения комплексного переменного z. Если мы воспользуемся для изображения чисел множества Е числовой сферой, то нет необходимости исключать случай, когда бесконечна удалённая точка принадлежит к Е, т. е. когда среди чисел множества Е имеется бесконечность. Мы назовём w функцией независимого комплексного переменного z, если каждому значению, которое может принимать z, т, е. каждому числу множества Е, соответствует по определённому закону комплексное числовое значение w = u—vi. Символически это обозначается так: wt=f (z). Если z = х— yi_y то и и v суть действительные функции двух действительных переменных х, у. Таким образом, задание w как функции комплексного переменного z сводится к заданию двух функций и и v переменных х и у. Может случиться, что каждому значению комплексного z соответствует несколько различных значений переменного w. В этом случае w называется многозначной функцией комплексного переменного z_y тогда как в первом случае она называется однозначной функцией. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем, иметь дело лишь, с однозначными функциями.

Каждой точке множества Е, которое служит областью изменения переменного z_y соответствует определённое комплексное число w. Изображая последнее как точку в числовой плоскости или на числовой сфере, мы получаем множество точек Е'. Итак, задание w как функции комплексного переменного z геометрически сводится к установлению соответствия между множествами точек Е и Е в силу которога каждой точке множества Е отвечает определённая точка множества Е В этом случае говорят, что множество точек Е отображается на множсство точек Е'. При этом некоторые точки множества Е' могут оказаться кратными, что будет тогда, когда различным значениям г соответствует одно и то же значение w. Рассматривая соответствие между точками множеств Е и Е' как отображение множества Е' на множество Е, мы получаем для каждого значения комплексного переменного w_y изменяющегося на множестве точек ?', одно или несколько (конечное или бесконечное множество) значений z. Следовательно, обратно, z можно рассматривать как функцию комплексного переменного w. Такая функция носит название обратной функции по отношению к функции w=f (z). Если различным значениям комплексного переменного z соответствуют различные значения функции w, то отображение множеств Е и Е' будет взаимно однозначным, т. е. таким, что каждой точке множества Е отвечает единственная точка множества Е' и, обратно, каждой точке множества Е' — одна точка множества Е. В этом случае z, рассматриваемое как обратная функция w_y будет также однозначной функцией. В общем же случае функция, обратная однозначной функции, может быть мноюзначной и даже бссконечнозна 'ной Более того, функция, обратная однозначной, может иметь при каждом значении независимого переменного бесконечное множество значений, образующих непрерывную линию. Например, w =: есть однозначная функция комплексного переменного z. Рассматривая же z как функцию w, мы видим, чго данному значению w = c отвечает бесконечное множество значений г, для которых |.г| =Су т. е. целая окружность. Впрочем, явления такого рода нс могут иметь места для класса дифференцируемых функций, изложение теории которых представляет главную задачу настоящего руководства.