Метод вариации произвольных постоянных и матричная функция Коши

Формула (19.5) позволяет нам реализовать для систем и уже знакомый нам метод вариации произвольных постоянных для неоднородной системы.

Пусть Ф (|Е) фундаментальная матрица. Тогда общее решение однородной системы описывается формулой (19.5), а решение неоднородной естественно искать в виде.

где c (t) неизвестная вектор-функция. Подставляя (19.7) в (19.6), получаем

Поскольку Ф (?) решение матричного дифференциального уравнения, первые слагаемые слева и справа взаимно уничтожаются, и мы получаем

откуда

Подстановка полученной формулы в (19.7) дает формулу для общего решения неоднородного уравнения:

Поиск же решения, удовлетворяющего начальному условию x (to) — ?. приводит к соотношению для вычисления с*

что дает формулу для решения задачи Копти

Функция

возникающая в этой формуле дважды, называется матричной функцией Коши^[1]. С помощью этой функции формула решения задачи Коши записывается в виде

В заключение этого параграфа мы «вернем» еще один свой долг. Когда мы обсуждали метод вариации произвольных постоянных для уравнений n-го порядка, мы записали систему соотношений, которым должны удовлетворять функции Ci (t). То, что эта система позволяет нам получить решение неоднородного уравнения, мы доказали, но вот откуда эта система взялась мы тогда обещали объяснить позже, при изучении систем. И вот этот момент настал.

Итак, рассмотрим неоднородное уравнение п-го порядка Уже обсуждавшимся выше способом перейдем к эквивалентной системе.

Каждому решению ф{Ь) однородного уравнения соответствует решение.

эквивалентной системы (напомним, что при переходе к системе через х обозначалось решение исходного уравнения, через Х2 его производная и так далее). Фундаментальная система решений ф{Ь),… исход ного уравнения порождает фундаментальную систему решений.

и матрицу.

Применение метода вариации произвольных постоянных к полученной нами системе дифференциальных уравнений дает систему.

относительно Cj (t) которая как раз и совпадает с системой (11.8)-(11.11), которую мы исследовали в теме «Уравнения n-го порядка¹¹ в первой книге. Таким образом, происхождение соотношений (11.8)-(11.11) в формулировке теоремы 11.1 для определения c,(i) оказалось банальным: они возникают при применении метода вариации к эквивалентной системе.

Задания для самостоятельной работы.

1. Разверните матричные дифференциальные уравнения.

(А и В заданные матрицы) и.

в виде систем дифференциальных уравнений.

2. Объясните, почему произвольное решение можно представить в виде (19.7). Почему функция c (f) дифференцируема?

Каверзные вопросы.

• 1. Пусть х¹ (t),…, xⁿ~^l{t) некоторая система решений однородной линейной системы n-го порядка х = A (t)x. Рассмотрим матрицу, составленную из этих решений (она имеет размерность п х (п — 1)), и обозначим через yi (t) ее миноры п— 1-го порядка (можно считать, например, что i есть номер отсутствующей строки). Пользуясь правилами дифференцирования определителя, выпишите систему дифференциальных уравнений, которым удовлетворяет векторфункция y{t). Как матрица этой системы связана с исходной матрицей A{t)'! Можно ли аналогичную процедуру проделать с системой решений уравнения n-го порядка? А если решений не п — 1, а меньше?
• 2. Можно ли по фундаментальной системе решений восстановить систему дифференциальных уравнений? Как это сделать? Какие условия для этого требуются?
• 3. Как понимать линейное отображение матриц:
  • • F (X) = АХ + Б, где А и В некоторые матрицы;
  • • F (X) = ХА + В, где А и В некоторые матрицы;
  • • F (X) = АХ + ХВ + С, где А, В и С некоторые матрицы;
  • • F (X) = 11 fij 11! где fij = J2k-, i^aij^xhl + kj. При этом, очевидно, bjj объединяются в матрицу В = ||6М|. А вот что из себя представляет совокупность a^f?

• [1] °Во многих источниках матричная функция Коши определяется как матричнаяфункция K (t, s). позволяющая выразить решение линейной однородной системых = A (t)х в момент времени t через его значение в момент времени s в виде линейнойоперации x (t) = K (t, s) x (s). Нетрудно видеть, что это то же самое определение, только «оказывается», что так определенная функция позволяет выписать еще ирешение неоднородного уравнения.