Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним емкостным (Q элементом

Рассмотрим процессы, возникающие в цепи при зарядке и разрядке емкостного элемента.

Подключение источника постоянного напряжения к неразветвленной цепи с резистивным и емкостным элементами.

Рассмотрим переходный процесс, возникающий в цепи зарядки емкостного элемента от источника постоянного напряжения (рис. 2.4, а).

Составим по второму закону Кирхгофа дифференциальное уравнение цепи после замыкания ключа в момент /=0 и учтем, что для резистивного элемента u_R = Ri и для емкостного элемента / = С du_cldt:

|.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.12) для напряжения на емкостном элементе представим в виде суммы двух составляющих:

Первая составляющая соответствует установившемуся режиму:

I.

так как зарядка емкостного элемента закончится, когда напряжение ис будет равно напряжению источника.

где р = — /RC — корень характеристического уравнения RCp + 1 = 0. Общее решение с учетом (2.12−2.15) имеет вид:

Рис. 2.4. Схема электрической цепи заряда конденсатора (а), графики зависимости напряжения и тока при зарядке конденсатора (б).

Вторая составляющая соответствует свободному процессу. Так как дифференциальное уравнение (2.12) первого порядка, то.

I.

Для определения значения постоянной А в (2.16) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента. Будем считать, что до замыкания ключа, т. е. и в момент /=0_, емкостной элемент не был заряжен. Поэтому.

откуда А = -Е.

Подставив значение А в (2.16), найдем напряжение на емкостном элементе по время зарядки (рис. 2.4, б):

где т = RC имеет размерность времени (Ом • Ф = Ом • А • с/В = с) и называется постоянной времени цепи. Она, как и постоянная времени цепи с индуктивностью, определяет скорость переходного процесса.

Так как зависимость напряжения на емкостном элементе от времени (2.17) найдена, то нетрудно определить зависимости от времени зарядного тока и напряжения на резистивном элементе (рис. 2.4, б):

Заметим, что в первый момент после замыкания ключа, т. е. при / = 0₊, ток в цепи i (0+)=E/R, емкостной элемент в этот момент как бы замкнут. Поэтому при малом значении R в цепи может наблюдаться значительный скачок тока.

При 0 < / < г скорость изменения напряжения на емкостном элементе приближенно считать постоянной.

du_r Е Е 1 V_Pj.

—— =-, а и_г «-/ =- Eat пропорциональным.

dt ,.₀₊ RC' ^с RC RC

интегралу напряжения источника ЭДС Е.

Если на входе цепи действует источник изменяющейся ЭДС е, то может оказаться, что для моментов времени переходного процесса, в которые u_R «и_с, приближенно и_с «е, a u_R = Ri = RC, du_c/dt «RCde/dt пропорционально скорости изменения напряжения источника. Следовательно, цепь с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов, так же как цепь с последовательным соединением резистивного и индуктивного элементов, рассмотренную выше, при определенных условиях можно рассматривать и как интегрирующую и как дифференцирующую.

В большинстве случаев процесс зарядки емкости можно считать практически закончившимся через интервал времени, равный 3 г. Этот интервал времени может быть достаточно большим (чем больше R и С, тем больше и г), что широко используется, например, в реле времени — устройствах, срабатывающих по истечении определенного времени.

Разрядка емкостного элемента через резистивный элемент.

В электрическом поле заряженного емкостного элемента С сосредоточена энергия, за счет которой емкостной элемент в течение некоторого времени сам может служить источником энергии. После замыкания емкостного элемента, предварительно заряженного до напряжения и_с = Е, на резистивный элемент с сопротивлением R (рис. 2.5, а) в цепи возникает ток, обусловленный изменением заряда q емкостного элемента:

где знак минус указывает, что ток i — это ток разрядки в контуре, обозначенном на рисунке пунктиром, направленный навстречу напряжению на конденсаторе.

Составим дифференциальное уравнение для контура, обозначенного на рис. 2.5, а пунктиром, по второму закону Киргхофа и учтем соотношение (2.18'):

Так как в цепи разрядки емкостного элемента нет источника ЭДС, то дифференциальное уравнение (2.19) однородное и его общее решение состоит только из свободной составляющей (2.15):

Рис. 2.5. Схема электрической цепи разряда конденсатора (а), графики зависимости напряжения и тока при разрядке конденсатора (б).

Для определения постоянной А в (2.20) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента. Так как до коммутации, т. е. и в момент t = 0_, емкостной элемент был заряжен до напряжения источника, то.

Подставив значение постоянной А в (2.20), получим закон изменения напряжения при разрядке емкостного элемента (рис. 2.5, б):

где т = RC — постоянная времени цепи.

Разрядный ток найдем по (2.18):

Согласно этого уравнения ток скачком изменяется от нуля до значения '(0 ?)=*/*, а затем убывает по экспоненциальному закону (рис. 2.5, б).