Геолого-математические модели. 
Геология. 
Прогнозирование и поиск месторождений полезных ископаемых

Математическое моделирование используется при изучении свойств, морфологии и строения природных скоплений полезных ископаемых, рудоносных геологических структур и процессов их образования. В качестве математических моделей используются символы и формулы, описывающие количественные взаимосвязи и закономерности распределения изучаемых признаков [Каждан, 1984].

Принципы математического моделирования определяются такими положениями:

> приемлемостью математической модели условиям соответствия се свойств свойствам (содержанию) объектов моделирования;

> сложностью строения природных скоплений полезных ископаемых и ограниченностью эмпирических данных, препятствующих непосредственному применению детерминированных моделей; для выявления детерминированных составляющих большинство моделей строится на вероятностной основе, поскольку проявление случайной изменчивости изучаемых свойств свидетельствует не об отсутствии геологических закономерностей, а о недостатке знаний на данном этапе изучения недр;

> моделированием не истинных, а наблюдаемых свойств рудных скоплений или изменчивостью их свойств на изученном масштабном уровне их строения.

Наиболее широко используются вероятностные статистические и геостатистические модели, модели типа стационарных случайных функций и их гармонического анализа. В зависимости от выдержанности формы, сложности строения объекта, размеров проб и расстояниями между точками наблюдений экспериментальные данные могут представлять собой совокупности: случайных взаимонезависимых величин; случайных автокоррелированных величин с отчетливо проявленной периодичностью; пространственно взаимосвязанных величин. В первых трех случаях эффективно применение вероятностных моделей с использованием аппарата вариационной статистики случайных величин, теории стационарных случайных функций, гармонического анализа случайных функций или тренд-анализа, R-факторный, дискриминантный, регрессионный методы, нейронные сети переменных. В последнем случае возможно применение детерминированных моделей.

Использование статистических моделей целесообразно, если в наблюдаемой изменчивости признака отсутствует закономерная составляющая, и, следовательно, геометризация признака в изучаемом объеме недр практически невозможна. Статистические модели полностью абстрагируются от закономерностей пространственного размещения признаков, обеспечивая вероятностную оценку средних значений и характеристик изменчивости изучаемых свойств в пределах всего объема недр, который устанавливается другими независимыми способами.

При изучении одновременно двух и более случайных величин используются статистические модели двумерного, многомерного анализа. Например, оценка коэффициента корреляции р двух случайных величин х и v определяется через их ковариацию Cov (x, у) и стандарты (?_x, ?_v): где

Целью геостатистического исследования является оценка средних значений изучаемых свойств полезных ископаемых как функции их пространственной изменчивости в зависимости от геометрии сети наблюдений, проб и оцениваемых блоков. Для этого путем интегрирования точечных вариограмм изучаемых свойств по геометрическим элементам проб просчитываются характеристики наблюдаемой изменчивости. Они учитывают влияние геометрии расположения проб, а с их помощью оцениваются дисперсии и ковариации распространения наблюдаемых значений свойств по пробам на весь подсчетный объем.

Модели типа случайных стационарных функций применяются для изучения автокоррелированных эмпирических данных. Как статистические модели, они основаны на положениях теории вероятности. Такие модели обеспечивают оценку средних характеристик пространственной изменчивости изучаемого признака в зависимости от его геологической природы, густоты поисковой и разведочной сети и геометрии проб. Оценка производится с помощью автокорреляционых или структурных функций, вычисленных по конкретным данным изучаемого признака.

С помощью автокорреляционной функции выявляется сила связи между наблюдаемыми значениями параметров при различной густоте сети, и устанавливаются предельные расстояния распространения этих связей:

Здесь L — длина исследуемого поискового или разведочного профиля; h — расстояние между пунктами наблюдений на профиле; f (x) — переменная величина; ц_х — среднее значение переменной величины f (x) в интервале от 0 до L.

Структурные функции

более наглядно характеризуют общий размах, скорость, интенсивность изменений геологического параметра и степени прерывистости оруденения в зависимости от его природных свойств и геометрии проб.

В случае изменчивости наблюдаемых значений геологических параметров, не удовлетворяющих условиям стационарности, рассматриваются характеристики структурных или автокорреляционных функций, усредненных по ряду показателей, описывающих изученные свойства в среднем в пределах заданного объекта. С помощью такой модели устанавливаются значения и доля неслучайной составляющей изменчивости, а по соотношениям расстояний предельной корреляции для различных направлений рассчитываются показатели анизотропии изучаемого состава. В строении полезных ископаемых выявляются элементы их неоднородности, а характеристики изменчивости изучаемых свойств оцениваются не в заведомо заданных объемах недр, а на том структурном уровне, который выявляется принятой сетью наблюдений.

Модели типа полигармонической случайной используются в условиях проявленной периодичности наблюдаемых признаков, в условиях колебательного процесса. Для количественного описания изменчивости геологического параметра тогда используется понятие спектрального состава случайной функции.

Спектральная плотность дисперсии рассчитывается через автокорреляционную с помощью преобразования Фурье:

При решении практических задач вследствие дискретности сети наблюдений спектральная плотность дисперсии заменяется линейным спектром амплитуд гармоник различной частоты.

который показывает, каким образом общая дисперсия признака распределяется между отдельными гармониками. Спектр наблюдений амплитуд записывается в виде случайной полигармонической функции F (x)=y/(x)+n (x), где ір = А_к— C_os(w_K ¦ х + (р) — неслучайная полигармоническая функция с конечным количеством гармоник К; п (х) — случайная составляющая наблюдаемой изменчивости признака.

При создании моделей аномальных геохимических полей гидротермальных месторождений золота В. Г. Ворошиловым [2007 г.] использованы методы группировки переменных — R-факторный, дискриминантный, регрессивный, нейронные сети и кластер-анализ. В ряде случаев для идентификации строения аномального геохимического поля необходимо применять методы распознавания образов, линейного дискриминантного анализа и искусственных нейронных сетей.

R-метод факторного анализа предполагает вычисление значений факторов путем перемножения факторных коэффициентов на концентрации элементов, нормированные на среднее содержание по выборке. Диапазон колебаний вычисляемых величин по всем выборкам должен быть примерно одинаковым, по средним значениям равным нулю. При вычислении значений факторов используются не нормированные содержания элементов, а их кларки концентраций. Матрица факторных коэффициентов вычисляется на эталонном объекте.

В итоге составления такой модели можно не только визуально оценивать морфологию аномальных геохимических структур пространственно разобщенных объектов, но и количественно оценивать продуктивность каждой геохимической ассоциации в ККм². Последняя процедура реализуется в последних компьютерных программах Surfer, ArcView и др. (см. рис. 10, а-е).

На примере Таловского колчеданно-полиметаллического месторождения Рудного Алтая показана возможность моделирования системой «Геоскан»: к кластеру № 1 отнесены элементы Ag, Pb, Zn, As, в меньшей мере Мn, Сu, Ті. Остальные четыре класса имеют близкий состав спектра, при ведущей роли Ва, Pb или Ag, но меньшую интенсивность геохимических преобразований. Это отражается в значениях функции SCAN (рис. 10, в). В результате выявлена картина геохимического поля, свидетельствующая о субвертикальной рудоконтролирующей структуре. На пересечении этой структуры с литологически благоприятными горизонтами и приурочены рудные тела. Здесь состав главной рудной ассоциации от нижних тел к верхним меняется в такой последовательности: Pb, Zn, Сu — Pb, Zn, Ва — Ва, Pb, Zn — Ва, As и Ag тяготеют к флангам рудных тел. В целом Ва, Ag, As являются верхнерудными элементами, а ассоциация Со, Ni, Cr, V развита на выклинивании рудных залежей, где находится вкрапленность пирита. Выявленная геохимическая зональность отвечает сепарационно-концентрационной [Ворошилов, 2007 г.]. Отчетливая зональность проявляется в распределении значений коэффициентов относительной концентрации родственных элементов — Co: Ni, Pb: Zn (рис. 10, е). Они фиксируют внешний контур полиметаллического оруденения. Максимальные значения коэффициента Ag As: Ni V, равные 5000…300 000, рассчитанные в соответствии с рядом вертикальной геохимической зональности, отмечают надрудную часть аномальной структуры (рис. 10, д).

Тренд-анализ применяется для выяснения морфологии сложных геологических тел, геохимической, рудно-метасоматической, рудно-магматической зональности, при локальном прогнозировании в условиях глубоковскрытых рудных полей и месторождений. При изучении формы рудных тел на первом этапе обработки статистических геологических данных с помощью компьютерных программ рассчитывают уравнения тренд-поверхностей и графические изображения их в виде изолиний. Следующий этап выявления эмпирических закономерностей осуществляется графическим или аналитическим способами по специальным компьютерным программам. Определяют конфигурацию и геометрические свойства тренд-поверхностей, пространственное положение максимумов или минимумов показателей, положение осевых линий «рудных столбов», рудных тел, геохимических, минералогических аномалий и соотношений их с вмещающими породами.

Для количественной прогнозной оценки глубоких горизонтов и флангов рудных полей, месторождений, рудных тел, рудных столбов используют экстраполяционные методы. Они основаны на выявлении намечающихся тенденций рудномагматической, рудно-метасоматической, рудной зональности в пределах изученных частей рудоносных структур. Количественный анализ рудной зональности заключается в аппроксимации распределения концентраций показателей, их соотношений и линейных запасов рудных компонентов с поверхностями тренда и расчете этих величин за пределами разведанных контуров залежей. Методика позволяет автоматизировать расчеты с помощью ЭВМ. По компьютерным специальным программам выполняется оперативный подсчет ресурсов и запасов металлов и осуществляется локальный прогноз скрытого оруденения, а также уточняются контуры рудных тел по мере пополнения поисково-разведочных данных.

Методами тренд-анализа исходных данных учитывается влияние как закономерных, так и случайных составляющих. Свойство изучаемого объекта описывается случайным полем непрерывной скалярной переменной U = f (x, у)+е, где f (x, у) — функция координат пространства (тренд), є — случайная переменная. Сущность тренд-анализа сводится к выявлению основной тенденции в изменении наблюдаемых значений изучаемых свойств и к их аппроксимации с помощью «поверхностей тренда», описывающих закономерные составляющие изменчивости признаков. Для целей аппроксимации используются различные функции пространственных координат, подбираемых по методу наименьших квадратов. Простейшим способом аппроксимации является сглаживание скользящим окном, которое используется при горно-геологическом моделировании. К более сложным способам тренд-анализа относятся сглаживание с помощью различных линейных преобразований, способ скользящей корреляции значений исследуемых свойств в пределах площадок трансформации и способ аппроксимации эмпирических данных с помощью ортогональных полиномов различных степеней, тригонометрических полиномов, уравнения Лапласа и других сложных функций пространственных координат, требующих использования ЭВМ. Даже наиболее сложные методы тренд-анализа не обеспечивают достоверных и объективных решений, поскольку их результаты зависят от геометрии сети наблюдений, размеров элементарных площадок и других исходных условий проведения тренд-анализа.

Выделение и количественная оценка координированных и случайных составляющих геологических, геофизических и геохимических полей могут выполняться способами последовательной геометризации признака с помощью скользящего среднего. Операцию вычисления среднего значения признака в окне надо рассматривать как его измерение таким методом, у которого область влияния замера соответствует площади окна. Тогда смещение с перекрытием менее половины линейного размера окна обеспечивает прямолинейную интерполяцию признака между расчетными точками. Предельный размер окна определяется минимальным числом входящих в выборку точек. Минимальным оказывается такое число точек, начиная с которого среднее квадратическое отклонение средней оценки не изменяется — обычно не более 20−26. Максимальный размер палетки зависит от размеров элементов неоднородности. Размер окна должен составлять 0,7 размера минимального сечения геометризуемого объекта, а форма окна должна быть подобной его форме. Тогда количественная характеристика закономерности признана на изучаемом уровне строения определяется поверхностью тренда, а ее случайная составляющая — разностями между значениями в точках наблюдений и на поверхности тренда.

В строении геофизических и геохимических полей должны выделяться тс элементы их неоднородности, которые уверенно выявляются сетью принятой густоты наблюдений. Выбор оптимальной геометрии статистического окна возможен путем перебора вариантов сглаживания с учетом априорных представлений о вероятных параметрах элементов неоднородности. Выявление этих параметров возможно с помощью двумерных автокорреляционных функций или спектральных плотностей дисперсий изучаемых признаков, наблюденных в двух взаимно ортогональных направлениях. По данным геологических, геофизических, геохимических съемок возможна последовательная геометризация потенциально рудоносных площадей от рудных районов до рудных узлов, рудных полей, месторождений и их участков для решения задач количественной оценки признаков интенсивности и экстенсивности оруденения в различных масштабах. Путем сопоставления площадных продуктивностей потенциальных рудных районов, рудных узлов, рудных полей, месторождений, показателей закономерной и случайной изменчивости содержаний полезных компонентов в их объемах (с учетом степени телескопирования элементов неоднородности различных структурных уровней) можно получать объективные характеристики для количественных оценок перспектив рудоносности изучаемых территорий.

Имитационное моделирование как метод системного анализа, основан в основном на теории вычислительных систем, теории вероятностей, статистике. Метод использует фактическую информацию, а также методы анализов той области науки, для решения которой он применяется. Такие системы позволяют автоматизировать основные процессы выработки и обоснования вариантов решения о наиболее целесообразных направлениях геологических исследований на различных стадиях геологоразведочного процесса. Это, в конечном итоге, должно определить эффективность исследований, как в рамках отдельных стадий, так и всего цикла геологических работ в целом. Имитационное моделирование используют преимущественно как обучающие системы, вырабатывающие у обучающегося основы понимания рациональной методики поисков и разведки месторождений полезных ископаемых. Более полную информацию по имитационному моделированию можно найти в книгах Н. Н. Шатагина и В. И. Щеглова [1989] и Ю. Г. Шестакова [1984 г.].