Характеристики случайных измерительных сигналов

Свойства случайных сигналов оценивают с помощью статистических (вероятностных) характеристик. Они представляют собой неслучайные функции и (или) числа, зная которые, можно судить о закономерностях, которые присущи случайным сигналам, но проявляются только при их многократных наблюдениях.

Характеристики случайных сигналов, не изменяющихся во времени

Основными статистическими характеристиками сигнала, представленного случайной величиной (7.2), являются: функция распределения F_x(x), плотность распределения вероятностей р_х(х) (ПРВ), математическое ожидание т_ХУ дисперсия D_v среднеквадратическое отклонение (СКО) с_х и доверительный интервал Д_д. Рассмотрим эти характеристики.

1. Функция распределения (или интегральный закон распределения) F_x(x) выражает вероятность того, что конкретное значение случайной величины X окажется меньше, чем ее заданное значение х, т. е.

где Р (*) — символ вероятности события *.

2. Плотность распределения вероятностей (или дифференциальный закон распределения) ПРВ представляет собой функцию текущего значения случайной величины р_х(х)₉ выражающую вероятность попадания конкретного значения случайной величины X в малый интервал ее возможных значений Ах_у примыкающий к x_t т. е.

Размерность ПРВ р_х(х) обратна размерности величины х.

3. Математическое ожидание определяет средневзвешенное значение случайной величины X и вычисляется по формуле.

Результат вычислений по этой формуле отличается от среднего значения случайной величины и совпадает с ним только в случае симметричных законов распределения (равномерного, нормального и др.). о Величинах = х-т_х называется центрированной случайной величиной. Математическое ожидание такой величины равно нулю.

4. Дисперсия случайной величины определяет средневзвешенное значение квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. Дисперсия вычисляется по формуле.

и имеет размерность, совпадающую с размерностью квадрата величины х.

5. Среднеквадратическое отклонение вычисляется по формуле.

и, в отличие от дисперсии D_x, имеет размерность, совпадающую с размерностью измеряемой физической величины х. Поэтому СКО оказывается более удобным показателем степени разброса возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

В соответствии с правилом «трех сигм» практически все значения случайной величины, обладающей нормальным законом распределения, попадают внутрь интервала х-т_х<�Зо_х, примыкающего к математическому ожиданию этой величины.

6. Доверительным интервалом Д_д называется диапазон возможных значений случайной величины, в котором эта величина находится с заранее заданной доверительной вероятностью Р_д. Этот диапазон можно записать в виде х — т_х | < Д_д или т. е. границы доверительного интервала расположены симметрично относительно математического ожидания сигнала т_х> а площадь криволинейной трапеции с основанием [т_х ± Д_д] равна доверительной вероятности P_R (рис. 7.7). С ростом Рд доверительный интервал Д_д также увеличивается.

Рис. 7.7. К иллюстрации понятия «доверительный интервал».

Половину доверительного интервала Д_д можно определить, решая уравнение.

В практике инженерных расчетов наиболее широкое применение среди перечисленных статистических характеристик случайного сигнала получила ПРВ р_х(х). Зная ПРВ, можно определить все другие статистические характеристики сигнала. Поэтому функция р_х(х) является полной статистической характеристикой случайного сигнала.

Перечислим основные свойства ПРВ.

1. р_х(х)>0, т. е. ПРВ — неотрицательная функция.

dF (х) ^Л

• 2. р_х(х) =—^—- и J р_х{x)dx — F_x(х), т. е., зная ПРВ р_х(х), можно опре-
• —оо

делить функцию распределения случайной величины F,.(x) и, наоборот, зная функцию распределения, можно определить ПРВ.

3. Площадь криволинейной трапеции под графиком ПРВ с основанием [а, Ь] равна вероятности события а<�Х <�Ь, т. е.

Отсюда следует условие нормировки ПРВ.

так как вероятность события < X < °° равна единице. Если все возможные значения измеряемой случайной величины занимают интервал [х_н, х_в], то условие нормировки ПРВ имеет вид.

В любом случае площадь криволинейной трапеции, образованной графиком ПРВ, равна единице. Это условие можно использовать для определения аналитического вида (формулы) ПРВ р_х = р_х(х), если известны только форма графика или только вид этой функции [28].