Вывод принципа максимума для задачи со свободным правым концом

Вернемся к нашей задаче. Запишем уравнение объекта более ком пактно:

где а: — фазовый вектор, а и — вектор управления.

Нам нужно перевести объект из начального состояния х° в некоторое заранее не фиксированное конечное состояние за фиксированное время причем так, чтобы доставить экстремум функционалу.

выбирая надлежащим образом управляющие функции м,u_m(t), которые принадлежат некоторой области допустимых управлений.

Предположим, что мы нашли оптимальное управление м, которое минимизирует функционал S (или максимизирует). Подставляя й в систему уравнений объекта и решая се, мы найдем оптимальную траекторию *(/) и оптимальное значение конечного состояния Зс (Г). Возьмем другое управление й + Ьи. Тогда движение объекта будет происходить по другой траектории, отличающейся от оптимальной на величину (функцию) блг, т. е. х + 6х, но очевидно

а также.

Умножим обе стороны этого равенства на у. и просуммируем:

Умножим теперь обе части последнего равенства на dt и проинтегрируем в пределах от /₀ до Т:

Вычислим интеграл слева по частям:

Тогда.

где 5jc_x (/₀) = 0, (/ = 1,2,___, /?), т. к. левый конец закреплен, }/, (Г) = -с, согласно граничному условию на правом конце. AS — приращение функционала 5, обусловленное вариацией управления в районе оптимального, т. е. AS — отклонение от экстремального значения.

Таким образом,.

Предполагая малость вариации 6*, разложим выражение в скобках в ряд Тейлора, ограничиваясь линейными членами:

получим главную часть приращения по траектории.

Подынтегральная функция теперь запишется в виде.

Если теперь учесть, что (в силу уравнения Эйлера для |/') то выражение для AS можно представить так:

Предположим для простоты, что /(*, м,/) есть линейная функция относительно*, т. е.

тогда

и второй интеграл в выражении для AS будет равен нулю. Для рассматриваемого случая AS получает вид.

или, если учесть, что получим

Это выражение справедливо для любого интервала (Г-^₀), в том числе и для весьма малого, поэтому знак интеграла должен совпадать со знаком подынтегральной функции в любом случае. Достаточным условием минимума целевого функционала S является требование AS > О, а для этого необходимо, чтобы.

независимо от знака 5 м, а это означает, что оптимальное управление м доставляет максимум гамильтониану Н (рис. 1.47):

Наоборот, если нужно максимизировать целевой функционал, то для этого необходимо требование AS < 0, что приводит к условию.

т. е. в этом случае оптимальное управление доставляет минимум гамильтониану.

Рис. 1.47. Управление и доставляет минимум функционалу S при максимуме гамильтониана Н

Заметим, что эти выводы сохраняются полностью и для случая нелинейных дифференциальных уравнений. Доказательства в этом случае оказываются весьма сложными, и мы их опустим. Итак, мы получили следующую теорему, выражающую знаменитый принцип максимума Понтрягина:

«Если управление мМ минимизирует (максимизирует) функционал

п

⁵=Е^сл (⁷')> то оно удовлетворяет условию максимума (минимума)

/=1.

функции Гамильтона".