Статика систем автоматического регулирования

Уравнения статики систем описываются алгебраическими уравнениями. Более общим случаем являются переходные режимы САР. И в общем случае все САР описываются дифференциальными или интегральными уравнениями, которые называются уравнениями динамики. Из уравнений динамики могут быть получены уравнения статики при равенстве производных переменных величин нулю. Поскольку интегральное уравнение можно перевести в дифференциальное, то принято в качестве уравнений динамики брать только дифференциальные уравнения.

Статика регулирования изучает равновесные, установившиеся состояния, которые имеют место при постоянных значениях возмущающих и управляющих воздействий на систему.

В результате изменения воздействия от одного постоянного значения до другого в системе возникает переходный процесс. Если САР устойчива, то координаты системы при этом будут стремиться к некоторым установившимся значениям. Эти конечные значения и рассматривает статика.

Статические характеристики элементов и звеньев САР

Всякий элемент системы регулирования может характеризоваться несколькими входными и выходными координатами (рис. 1.28).

Рис. 1.28. Звено автоматической системы

Для звена в целом можно записать С уравнений:

Эта система уравнений, описывающая установившийся процесс, называется уравнениями статики звена.

Уравнения статики могут быть получены из уравнений динамики при приравнивании к нулю всех производных от координат и от возмущающих воздействий, поскольку значения тех и других в установившемся режиме постоянны.

Возьмем частный случай, когда звено характеризуется одной координатой (одно управляющее воздействие) — рис. 1.29. Статическая характеристика такого звена — Л^х =.

Рис. 1.29. Звено с одним управляющим воздействием

Такими простейшими статическими характеристиками описываются многие измерительные, преобразовательные, усилительные, управляющие элементы систем регулирования.

В зависимости от вида функции f (X_BX) звенья разделяются на статические, обладающие статической характеристикой, и астатические, не имеющие статической характеристики. Статические характеристики делятся на линейные, у которых функция f (X_BX) в рассматриваемом диапазоне изменения Х_вх и Х_вых есть линейная функция.

Х_{вы х} = а + ЬХ_вх, (1.95).

где а и b — постоянные, и нелинейные, у которых функция f (X_BX) имеет более сложный вид.

Рис. 1.30. Статическая характеристика линейного звена

Графически статическая характеристика линейного звена прямая (рис. 1.30). Примером статической характеристики линейного звена является характеристика ненагруженного тахогенератора: Е = ксо (коэффициент а = 0), где Е — ЭДС тахогенерагора; со — угловая скорость; к — коэффициент передачи тахогенератора.

Часто уравнение статики линейного звена приводят к виду, чтобы вместо текущих значений координат фигурировали их отклонения от некоторого начального значения:

где Х_{0 вх}— начальное значение; Х_вх — текущее значение.

Аналогично:

Подставим в первоначальное уравнение статики (1.95):

Очевидно, для начального состояния.

Вычтем из (1.96) (1.97), получим уравнение статики в отклонениях:

В уравнение статики в отклонениях (1.99) не входит коэффициент а, т. с. статическая характеристика линейного звена в отклонениях всегда проходит через начало координат с тем же углом наклона (рис. 1.31):

Рис. 1.31. Статическая характеристика линейного звена в отклонениях

В САР есть звенья, характеризующиеся двумя входными координатами и одной выходной. К таким звеньям относятся все объекты регулирования, входными координатами которых является регулирующее воздействие и возмущение. Статическая характеристика в данном случае выглядит:

где <�р — регулируемая величина объекта; // - регулирующее воздействие; q — нагрузка.

Графически в треугольной системе координат функция изображается в виде поверхности (рис. 1.32).

Подобное изображение весьма неудобно. Поэтому статические характеристики объектов представляются на плоскости в виде семейства характеристик (рис. 1.33):

Рис. 1.32. Изображение функции в треугольной системе координат

Рис. 1.33. Статические характеристики, представленные в виде семейства кривых