Математические модели технологии работы железных дорог

Задача 1. Составление планов формирования поездов на основе вероятностного анализа вагонопотоков

Задание Полигон с четырьмя станциями А, Б, В и Г должен пропустить суточные объёмы вагонопотоков по назначениям АГ и БГ соответственно через попутные станции без переработки, соблюдая нормативны показатели работы сортировочных парков на станциях А, Б и В.

А Б В Г Рис. 1 Схема участка АГ

Исходные данные представлены в таблицах 1.1 и 1.2.

Таблица 1.1 Нормативные показатели.

Таблица 1.2 Вагонопотоки.

Требуется:

• 1. Составить план формирования поездов.
• 2. Выполнить вероятностный анализ плана и рассмотреть возможные его варианты с учетом случайного характера суточных объемов вагонопотоков N₁ и N_2.

Решение:

Рассчитаем план формирования поездов по средним значениям вагонопотоков. Условием выделения струи вагонопотока в самостоятельное назначение является удовлетворение ее неравенству:

(1).

Если неравенство имеет вид:

(2).

то вагонопоток перестаёт удовлетворять условию выделения в струю потока самостоятельного назначения.

Проверяем выполнение условия (1) для вагонопотока .

Поскольку, то выполняется условие (1), что является основанием для выделения вагонопотока в самостоятельное назначение АГ.

Проверяем выполнение условия (1) для вагонопотока .

Поскольку, то условие (1) выполняется, следовательно, вагонопоток выделяется в самостоятельное назначение БГ.

Вывод: План формирования поездов, рассчитанный по средним значениям вагонопотоков на основании условия (1) выделения их в самостоятельное назначение, предусматривает организацию отправления вагонопотоков по направлению АГ, по направлению БГ. План формирования представлен на рис. 3.

Устанавливаем всевозможные варианты плана формирования поездов, соответствующие следующим случайным событиям.

— вариант 1.

— вариант 2.

— вариант 3.

— вариант 4.

Каждое из событий, ,, равносильно одновременному наблюдению соответствующих двух независимых событий. Поэтому на основании теоремы умножения вероятностей независимых событий получаем:

Определяем вероятность реализации вариантов 1, 2, 3, 4 плана формирования поездов, как вероятности случайных событий, ,, согласно заданным законам распределения вероятностей вагонопотоков и .

Для вагонопотока определяем по формуле распределения Эрланга 2-го порядка:

(3).

Для вагонопотока определяем по формуле распределения Эрланга 3-го порядка:

(4).

В расчете вероятности использована теорема сложения вероятностей противоположных событий:

Вероятность выделения потока в самостоятельное назначение при определяем:

Используя полученные результаты, определяем:

События являются несовместимыми и составляют полную систему событий. На основании теоремы о вероятности суммы событий, составляющих полную систему при суммировании вероятностей сботый должны получить 1:

Полученный результат свидетельствует о правильности выполненного вероятностного анализа плана формирования поездов.

Анализ варианта А4.

Вариант 4, соответствующий событию, предусматривает организацию вагонопотока через станции Б и В и вагонопотока через станцию В с переработкой, без сквозного назначения. Однако в силу случайного характера вагонопотоков и их величины могут быть таковыми, что возможны два несовместных подварианта:

.

.

Представим вариант схематически в виде множества точек на плоскости.

Рис. 2 Схема представления вариантов формирования вагонопотоков, в системе координат, .

Определяем вероятности и подвариантов 4а и 4б.

Событие равносильно наблюдению точки с координатами, , в площади четырехугольника ОN_2крМ₀N_1кр.

Разобьем трапецию ОN_2крМ₂N_1кр на несколько частичных трапеций (рис. 2). Выразим вероятностное наблюдение точки с координатами, , через сумму вероятностей их наблюдений в площадях частичных трапеций. Частичные трапеции заменим разными по площади прямоугольниками.

Используя заданные законы распределения вероятностей вагонопотоков и по формуле.

находим вероятности наблюдения точки с координатами,, в площадях прямоугольников ОМ₃М₄М₅:

Ч.

прямоугольников М₅М₆М₇М₈:

Ч прямоугольников М₈М₉М₁₀N_1кр:

Ч.

Вероятность подварианта 4_а равна Имея по теореме.

получим.

Проверяем аналогичным способом.

Ч.

Ч Ч.

Схема полигона АГ и варианты плана формирования поездов представлены на рис. 3.

Рис. 3 Схема полигона АГ и варианты плана формирования поездов

Задача 2. Транспортная задача

Задание:

Имеются три пункта отправления однородного груза и пять пунктов его назначения. На пунктах отправления груз находится в количестве, в пункты назначения требуется доставить соответственно груза. Известна стоимость перевозки единицы груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения (матрица D). Составить такой план перевозок, при котором необходимо вывезти все запасы груза, полностью удовлетворить все потребности и обеспечить при этом минимум затрат на перевозку.

Исходные данные:

, D=.

, , ,.

Решение:

Составляем опорный план, содержащий семь переменных, методом минимальной стоимости. вагонопоток поезд грузоперевозка план Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Таблица 2.1.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно бытьm + n — 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

С = 5Ч30 + 1Ч20 + 5Ч20 + 3Ч10 + 8Ч40 + 1Ч40 + 2Ч50 = 720.

Определяем потенциалы а_i, i =1,3 и b_j, j =1,5 пунктов отправления и пунктов назначения соответственно. Для этого составим систему линейных уравнений относительно неизвестных а_i, i =1,3 и b_j, j =1,5. Для определенности системы примем неизвестную а₁ равную нулю.

а₁+ b₃=5 а₁=0 b₃=5.

а₁+ b₄=1 b₄=1.

а₁+ b₅=3 b₅=3.

а₂+ b₁=3 b₁=0.

а₂+ b₃=8 а₂=3.

а₃+ b₂=1 b₂=2.

а₃+ b₅=2 а₃=-1.

Определяем косвенные тарифы свободных клеток матрицы перевозок (табл. 2.1) и сравниваем их с истинными тарифами:

а₁+ b₁=0+0= 0<8.

а₁+ b₂=0+2= 2<4.

а₂+ b₂=3+2= 5>3.

а₂+ b₄=3+1= 4<5.

а₂+ b₅=3+3= 6<7.

а₃+ b₁=-1+0=-1<8.

а₃+ b₃=-1+5= 4<9.

а₃+ b₄=-1+1= 0<3.

Сравнение показывает, что в свободной клетке (2;2) косвенный тариф больше истинного. Поэтому оцениваемый план не является оптимальным и требуется его дальнейшее улучшение.

Улучшаем опорный план перевозок (табл.2.1). Для этого составим цикл относительно свободной клетки (2;2) и пересчитаем данный план по составленному циклу.

Заменяем в опорном плане значения переменных составленного цикла на полученные новые значения тех же переменных, получим новый опорный план.

Таблица 2.2.

Общая стоимость нового плана должна быть меньше общей стоимости предыдущего плана. Проверим данное утверждение, для чего сравним стоимость С₁ = 720 перевозок оцениваемого опорного плана и нового плана С₂:

С₂ = 5Ч50 + 1Ч20 + 3Ч10 + 3Ч20 + 8Ч20 + 1Ч20 + 2Ч70 = 680.

Из сравнения стоимостей двух планов видим, что новый план лучше оцениваемого: С₂ = 680 < 720 = C₁.

Проверяем новый план по критерию оптимальности.

Определяем потенциалы пунктов отправления и пунктов назначения в соответствии с новым планом:

а₁+ b₃=5 а₁=0 b₃=5.

а₁+ b₄=1 b₄=1.

а₂+ b₁=3 b₁=0.

а₂+ b₂=3 b₂=0.

а₂+ b₃=8 а₂=3.

а₃+ b₂=1 а₃=1.

а₃+ b₅=2 b₅=1.

Определяем косвенные тарифы свободных клеток новой матрицы перевозок и сравниваем их с истинными:

а₁+ b₁=0+0=0<8.

а₁+ b₂=0+0=0<4.

а₁+ b₅=0+1=1<3.

а₂+ b₄=3+1=4<5.

а₂+ b₅=3+1=4<7.

а₃+ b₁=1+0=1<8.

а₃+ b₃=1+5=6<9.

а₃+ b₄=1+1=2<3.

Как видим, для всех свободных клеток матрицы перевозок косвенные тарифы меньше истинных. Следовательно, полученный новый план перевозок оптимален.

Ответ: Составлен оптимальный план перевозок грузов Х₁₃=50, Х₁₄=20, Х₂₁=10, Х₂₂=20, Х₂₃=20, Х₃₂=20, Х₃₅=70,.

при котором общая стоимость перевозки всех грузов из пунктов отправления в пункты назначения является минимальной и равна С₂=680.

• 1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.:Высшая школа, 2008.
• 2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике.- М.: Высшая школа, 2008.
• 3. Задание на контрольную работу с методическими указаниями для студентов VI курса, РОАТ, Москва, 2009.