Упрощения при расчете симметричных систем

Использование естественных свойств симметрии может значительно упростить расчет любой расчетной схемы, как статически определимой, так и статически неопределимой. Особенно важно учитывать свойства симметрии при расчете статически неопределимых систем, так как их учет приводит к уменьшению числа разрешающих совместных уравнений. Поэтому, когда появляется возможность понизить число основных неизвестных, ее следует реализовать.

Симметричной принято называть такую систему, геометрическая схема (включая жесткостные характеристики элементов) и расположение связей которой имеют одну или несколько общих осей симметрии.

Для всех сечений, расположенных на оси симметрии, различают симметричные и кососимметричные статические (усилия) и кинематические (перемещения) факторы. Так, для сечения А горизонтально ориентированного стержня, расположенного на оси симметрии (рис. 13.31):

• — симметричными являются изгибающий момент М_л, продольная сила N_a и вертикальное перемещение Д_Л^ЕР1;
• — кососимметричными являются поперечная сила Q_A, угол поворота сечения ср_л и горизонтальное перемещение Д_л^ор.

Рис. 1331

Нагрузка, действующая на симметричную расчетную схему, также может быть как симметричной, так и кососимметричной. При этом кососимметричной называют нагрузку, которая относительно оси симметрии отличается лишь противоположным направлением.

Для реализации возможных упрощений при расчете симметричных систем сформулируем их основные свойства.

Свойство 1. В симметричной расчетной схеме, загруженной симметрично расположенной нагрузкой (рис. 13.32, а), деформационная схема.

(рис. 13.32, б), эпюра изгибающих моментов (рис. 13.32, в) и эпюра продольных сил (рис. 13.32, д) симметричны, а эпюра поперечных сил (рис. 13.32, г) — кососимметрична.

Следствие. В симметричной расчетной схеме, загруженной симметричной нагрузкой в сечениях, расположенных на оси симметрии, кососимметричные статические и кинематические факторы равны нулю.

Например, для сечения А изображенной на рис. 13.32, а рамы равны нулю Q_A, ф_л и А_Л^0Р.

Свойство 2. В симметричной расчетной схеме, загруженной кососимметрично расположенной нагрузкой (рис. 13.33, а), деформационная схема (рис. 13.33, б), эпюра изгибающих моментов (рис. 13.33, в) и эпюра продольных сил (рис. 13.33, д) кососимметричны, а эпюра поперечных сил (рис. 13.32, г) — симметрична.

ззо

Следствие. В симметричной расчетной схеме, загруженной кососимметричной нагрузкой в сечениях, расположенных на оси симметрии, симметричные статические и кинематические факторы равны нулю.

Например, для сечения А изображенной на рис. 13.33, а рамы равны нулю М_А, N_a и Af^PT.

При действии на расчетную схему симметричной или кососимметричной нагрузок, используя свойства 1 и 2 и следствия к ним, можно рассматривать не всю расчетную схему, а лишь ее симметричную часть.

Так, для симметричной рамы, загруженной симметричной нагрузкой (рис. 13.34, а) и имеющей степень статической неопределимости п_с = 3, статические и кинематические условия для сечения А на оси симметрии будут следующими:

• 1) Qa ⁼ ф О, N_a ф 0;
• 2) _Фл = 0, Д^Р0Р = 0, Д*^ЕРТ Ф 0.

Рис. 1334

Чтобы симметричная часть расчетной схемы удовлетворяла этим условиям, необходимо на оси симметрии поставить подвижное в вертикальном направлении защемление. Степень статической неопределимости полученной схемы п_с = 2. Налицо сокращение числа канонических уравнений.

По аналогии, для симметричной рамы, загруженной кососимметричной нагрузкой (рис. 13.34, 6) и имеющей степень статической неопределимости п_с = 3, статические и кинематические условия для сечения А на оси симметрии будут следующими:

• 1) Qa *0, М_А- 0, N _а — 0;
• 2) ф_Л Ф 0, Д^Р0Р Ф 0, Д^ЕЕРТ = 0.

Для того чтобы симметричная часть расчетной схемы удовлетворяла этим условиям, необходимо на оси симметрии поставить шарнирно подвижную опору, разрешающую горизонтальные смещения сечения А. Степень статической неопределимости полученной схемы п_с= 1. В этом случае также имеем сокращение числа канонических уравнений.

Вышеприведенные свойства симметричных расчетных схем дают возможность использовать два приема упрощения расчетов симметричных систем: способ разложения нагрузки и способ группировки неизвестных. Применение этих способов возможно лишь в случае использования симметричных основных систем метода сил.

Способ разложения нагрузки. Любую произвольную нагрузку, действующую на симметричную расчетную схему, на основании принципа независимости действия сил всегда можно разложить на симметричную и кососимметричную (рис. 13.35, а). Разложение должно удовлетворять условию: сумма симметричного и кососимметричного загружений должна быть равна заданному загружению.

Расчет от каждого вида загружения производится отдельно. Затем на основании принципа независимости действия сил результаты складываются. Например, для расчетной схемы, работающей в условиях изгиба, Мр = М? + А/кс.

Рассмотрим подробнее, какие упрощения возможны при использовании способа разложения нагрузки, на примере трижды статической неопределимой рамы (см. рис. 13.35).

Выберем симметричную основную систему метода сил, симметрично удалив избыточные связи путем «врезки» шарниров в опорные защемления и в середину ригеля рамы (рис. 13.35, б) и обозначив реакции в удаленных связях как Fj, Y₂ и F₃.

При действии симметричной нагрузки (см. рис. 13.35, б) на основании свойства 1 получим, что F₃ = -Y_x = X, а неизвестное F₂ обозначим через Х₂. В результате получим два неизвестных и, следовательно, систему канонических уравнений второго порядка. При этом групповое неизвестное X, и неизвестное Х₂ являются симметричными.

При действии кососимметричной нагрузки (рис. 13.35, в) на основании свойства 2 получим, что У₃ = Y_x = Х₃, а неизвестное У₂ = 0. В результате получили одно неизвестное и, следовательно, одно каноническое уравнение. При этом групповое неизвестное Х₃ является кососимметричным.

В итоге для рассматриваемой рамы вместо системы уравнений с тремя неизвестными мы имеем систему уравнений с двумя неизвестными и одно уравнение с одним неизвестным, независимые друг от друга. В этом и состоит упрощение расчета. Сумма неизвестных при обоих видах загружения равна степени статической неопределимости рамы, т. е. п^с + п^кс = п_с.

Преимущество данного способа состоит в том, что он позволяет рассматривать при каждом виде загружения не всю расчетную схему, а лишь ее симметричную часть, как это было показано на рис. 13.34. Перед суммированием результатов на отброшенной при расчете симметричной части эпюры усилий достраиваются из условий симметрии, сформулированных в свойствах 1 и 2.

Способ разложения, естественно, может быть применен не только при действии внешней нагрузки, но и при любых воздействиях на расчетную схему. На рис. 13.36 показаны примеры разложения на симметричное и кососимметричное теплового воздействия и неравномерной осадки опор.

Способ группировки неизвестных. Рассмотрим симметричную дважды статически неопределимую раму (рис. 13.37, а), для которой выберем симметричную основную систему, удалив левую и правую шарнирно-подвижные опоры. Неизвестные реакции в удаленных связях У] и У₂ (рис. 13.37, б) представим в виде У₍ = Х_х + Х₂ и У₂ = Х_х — Х₂, где Х_х — групповое симметричное неизвестное, а Х₂ — групповое кососимметричное неизвестное.

Канонические уравнения для указанных групповых неизвестных будут иметь вид.

В силу свойств симметрии в состояниях 1 и 2 (рис. 13.37, в, г) получим симметричную эпюру М® и кососимметричную эпюру М?, в результате «перемножения» которых найдем.

т.е. результат «перемножения» симметричной эпюры усилий на кососимметричную равен нулю.

Следовательно, вышеприведенная система уравнений принимает вид.

Таким образом, при использовании способа группировки неизвестных система канонических уравнений, записанная для групповых неизвестных, распадается из-за равенства нулю побочных коэффициентов канонических уравнений на две группы: для симметричных и кососимметричных неизвестных. В этом и состоит эффект использования симметрии.

При этом эпюра Мр грузового состояния (рис. 13.37, д) строится от заданной нагрузки и может быть любой. Эпюра изгибающих моментов в заданной расчетной схеме строится на основании принципа независимости действия сил по формуле (13.14).

Приведенный на примере достаточно простой расчетной схемы вывод справедлив при любой степени статической неопределимости и для любого типа расчетных схем.

Подобный эффект «обнуления» побочных коэффициентов может быть получен при удалении избыточных связей непосредственно на оси симметрии расчетной схемы. Так, для той же рамы (рис. 13.38, а) основная система (рис. 13.38, б) получена удалением связей центрального шарнира ригеля. В результате при рассмотрении вспомогательных состояний (рис. 13.38, в и г) получим симметричную эпюру Mf и кососимметричную эпюру М? и, как следствие, 8₁₂ = 8₂₁ = 0.

Рассмотренные способы использования симметрии при расчете статически неопределимых систем равнозначны. При этом последний не требует разложения внешнего воздействия, а первый позволяет рассматривать симметричную часть расчетной схемы, что уменьшает количество исходных данных при решении задачи на ЭВМ.

Рассмотрим несколько примеров использования симметрии при решении статически неопределимых задач.

Пример 13.8.

Построить эпюру изгибающих моментов M_F для трехпролетной симметричной балки (рис. 13.39, а), загруженной симметричной нагрузкой.

Решение. 1. Степень статической неопределимости при К = 3, Ш = 8: п_с = 3 • 3 — -8=1.

• 2. Каноническое уравнение б₁₁Х₁ + A_lf = 0.
• 3. Основную систему (рис. 13.39, б) получим, удалив вертикальную связь в шарнире С, расположенном на оси симметрии.

На основании следствия к свойству 1 неизвестное Х_{ = 0 как кососимметричный статический фактор, поэтому заданная схема балки рассчитывается как статически определимая (рис. 13.39, в). Эпюра изгибающих моментов для нее представлена на рис. 13.39, д.

Пример 13.9.

Требуется построить эпюру изгибающих моментов M_F для рамы с затяжкой (рис. 13.40, я), загруженной кососимметричной нагрузкой.

Решение. 1. Степень статической неопределимости при К = 2, III = 4: п_с = 3 • 2 — -4 = 2.

2. Система канонических уравнений имеет вид.

3. Основную систему (рис. 13.40, б) получим, врезав шарнир в середине ригеля рамы и удалив затяжку.

На основании следствия к свойству 2 неизвестные Х_{ = Х₂ = 0 как симметричные статические факторы, поэтому заданная схема балки рассчитывается как статически определимая (рис. 13.40, в). Эпюра изгибающих моментов для нее представлена на рис. 13.40, г.

Пример 13.10.

Требуется построить эпюру изгибающих моментов M_F для симметричной балки с осью ломаного очертания (рис. 13.41, а).

Решение. 1. Степень статической неопределимости при К = 3, Ш = 7: п_с = 3 • 3 — 7 = 2.

2. Система канонических уравнений имеет вид.

• 3. Основную систему (рис. 13.41, б) получим, удалив связи в опорах Л и В. Для неизвестных реакций в удаленных связях применим способ группировки.
• 4. Для определения усилия в основной системе от единичных сил, последовательно прикладываемых по направлению удаленных связей (рис. 13.41, в и г), определим реакции от указанных воздействий и построим эпюры Mf и М%.

Рис. 13.41

• 5. Определим усилия в основной системе от действия заданной нагрузки и построим эпюру Мр (рис. 13.41, д).
• 6. Определим коэффициенты при неизвестных:

9. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной расчетной схеме:

Усилия от действительных значений реакций в удаленных связях и результат сложения, эпюра М_г, показаны на рис. 13.42.

Последующий ход расчета см. пример 13.2.

Пример 13.11.

Требуется построить эпюру изгибающих моментов M_F для симметричной рамы (рис. 13.43, а).

Решение. 1. Степень статической неопределимости при К = 2, Ш = 4: п_с = 3? 2 — -4 = 2.

2. Система канонических уравнений имеет вид.

• 3. Основную систему (рис. 13.43, б) получим, удалив связи в шарнире С. Поскольку избыточные связи удалены на оси симметрии, группировки неизвестных не требуется.
• 4. Определим усилия в основной системе от единичных сил, последовательно прикладываемых по направлению удаленных связей (рис. 13.43, в и г), для чего определим реакции от указанных воздействий и построим эпюры М,° и М?-
• 5. Определим усилия в основной системе от действия заданной нагрузки и строим эпюру М⁽/- (рис. 13.43, Э).
• 6. Определим коэффициенты при неизвестных:

Рис. 13.43

9. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной расчетной схеме:

Все слагаемые приведенной формулы и результат сложения, эпюра M_F, показаны на рис. 13.43, д — з.

Последующий ход расчета см. пример 13.2.