Основные законы логики высказываний

Одно из важных свойств логических истин заключается в том, что они выражают законы логики — принципы сохранения истины. Хотя число логических истин и, стало быть, логических законов, бесконечно, обычно выделяют некоторое конечное подмножество в качестве базисных правил, позволяющих преобразовывать формулы. Ниже приводятся и иллюстрируются те законы логики, которые будут применяться в дальнейшем. Истинность любого из них легко проверить с помощью соответствующих таблиц. Напомним, что вместо символов ф, q> и у; выполняющих функцию метапеременных, могут подставляться любые формулы логики высказываний.

Закон снятия двойного отрицания:

Согласно этому закону высказывание «Неверно, что неверно, что сегодня понедельник» эквивалентно утверждению «Сегодня понедельник». Двойное отрицание не изменяет начального значения истинности высказывания: если оно было истинным (ложным), то в результате двойного отрицания оно и остается истинным (ложным). Поэтому двойное отрицание всегда может быть устранено и заменено обычным утверждением.

Законы коммутативности (перестановочности) & и v:

Данные законы разрешают переставлять местами конъюнкты и дизъюнкты, так как в итоге не изменяются значения истинности исходной формулы. Согласно этим законам высказывание «Это яблоко вкусное и/или спелое» эквивалентно высказыванию «Это яблоко спелое и/или вкусное».

Законы ассоциативности (соединения) & и v:

Эти законы разрешают вычислять значение истинности формул, состоящих только из конъюнктов или только из дизъюнктов, в любом порядке, так как при этом не изменяются значения истинности исходной формулы. Например, безразлично, вычисляется ли сначала значение истинности высказывания (А & В), а затем высказывания ((А & В) & С), или сначала высказывания (В & С), а затем высказывания (А&(В& С)). Сказанное аналогичным образом касается и дизъюнктивной формулы.

Законы дистрибутивности (распределения) & относительно v, и наоборот:

Например, согласно данным законам высказывание «Стоял октябрь, но было еще тепло или солнечно» эквивалентно высказыванию «Стоял октябрь, но было еще тепло, или стоял октябрь, но было еще солнечно». Законы дистрибутивности позволяют «выносить за скобки» формулы, входящие во все конъюнкты или во все дизъюнкты, а также совершать обратную операцию.

Законы идемпотентности (сохранения степени):

В соответствии с такими законами значение истинности сложных высказываний с многократным вхождением одного и того же конъюнкта (дизъюнкта) полностью определяется значением истинности одного конъюнкта (дизъюнкта).

Законы удаления з, з и *:

Согласно приведенным законам формулы, содержащие логические союзы z>, s и *, могут равносильно заменяться на формулы, содержащие только логические союзыi, & и v. Например, высказывание «Сегодня либо победим, либо проиграем» эквивалентно высказываниям «Если сегодня победим, то не проиграем, а если проиграем, то не победим», «Сегодня либо не победим или не проиграем, либо победим или проиграем», «Сегодня либо победим и не выиграем, либо не победим, но выиграем».

Законы де Моргана (отрицания конъюнкции и дизъюнкции):

Согласно законам де Моргана высказывание «Неверно, что сегодня ясно и/или тепло» эквивалентно высказыванию «Сегодня не ясно или/и не тепло».

Законы поглощения:

Согласно первому закону поглощения, конъюнктивная формула, в которой один конъюнкт — ф — логически сильнее, чем другой — (ф v (р), эквивалентна логически более сильному конъюнкту — ф. Согласно второму закону поглощения, дизъюнктивная формула, в которой один дизъюнкт — ф — логически слабее, чем другой — (ф&(р), эквивалентна логически более слабому дизъюнкту — ф. Значит, всякая формула эквивалентна дизъюнкции своих самых слабых допущений и одновременно эквивалентна конъюнкции своих самых сильных следствий.

Законы исключения (противоречащих конъюнктов и дизъюнктов):

По законам исключения формула, чьи дизъюнкты (конъюнкты) имеют общий член — ф — и отличаются друг от друга только одной парой противоречащих подформул — (f) и -.<�р, эквивалентна общей для них подформуле — ф.

Перечисленные законы логики создают базис для развития более эффективного, чем таблицы истинности, метода решения логических задач логики высказываний. Этот метод развивает технику анализа, применявшуюся при решении силлогизмов традиционной логики.