Теорема разложения. 
Электротехника, электроника и схемотехника

Поскольку система операторных уравнений Кирхгофа для линейной цепи является системой алгебраических уравнений, ее решение относительно изображений токов ветвей и напряжений на участках имеет вид отношения двух алгебраических многочленов:

Для того чтобы при переходе от операторного выражения (9.10) к оригиналу воспользоваться таблицами соответствия, необходимо представить его в виде суммы слагаемых табличного вида. Эту задачу решает теорема разложения [4]. Приведем вариант формул теоремы разложения для случая отсутствия кратных корней у многочлена F₂(p), стоящего в знаменателе формулы (9.10). Он соответствует подавляющему большинству задач по расчету переходных процессов в линейных электрических цепях [4].

Поскольку F₂(p) является многочленом п-й степени, его корни обозначаем р_х, р₂, …, р_к, …, р_п. Если величины p_v р._р …, р_п различны, то выражение.

(9.10) можно представить следующей суммой:

Коэффициенты A_v А₂, …, A_k,…, А_п в сумме (9.11) вычисляются по формуле.

где F_t(p_k) — значение многочлена F_t(p), стоящего в числителе формулы (9.10), при р = р_к F'₂(p_k) = dF₂(p)/dp — значение первой производной, но переменной величине р от многочлена F₂(p) при р = р_к.

А

Каждому слагаемому вида ^ _^к^ изображения (9.11) во временной области соответствует экспонента А_ке^Рк‘. Поэтому в рассматриваемом случае изображению F_l(p)/F₂(p) соответствует оригинал, представляющий собой сумму экспонент:

Среди различных корней p_v р₂, …, р_п может быть один нулевой корень, а также пары комплексно-сопряженных корней. Поэтому формула (9.13) годится для широкого класса задач по расчету переходных процессов. Формула разложения для случая кратных корней многочлена F₂(p) ввиду своей громоздкости здесь не приводится.

Пример 9.3. В цепи, изображенной на рис. 9.6, а, в момент t = 0 параллельно ветви R₂L подключается заряженный до напряжения и_с(0) = 20 В конденсатор. Параметры цепи заданы следующими: Е = const = 60 В; Я, = 400 Ом; R₂ = 800 Ом; L = 0,2 Гн; С= 2,5 -10^_6 Ф.

Определить законы изменения напряжения па конденсаторе u_c(t) и тока i₃(t) в переходном режиме.

Рис. 9.6. К примеру 9.3:

а — заданная цепь; 6 — операторная модель после замыкания ключа; в — графики зависимостей u_c(t) и i₃(t)

Решение

1. Согласно условиям задачи до коммутации через индуктивность протекал постоянный ток, поэтому.

2. Операторная схема замещения цени, изображенной на рис. 9.6, а, представлена на рис. 9.6, 6. Она содержит три операторных источника ЭДС. Кроме ЭДС Е/р, изображающей источник постоянной ЭДС Е, на рис. 9.6, б присутствуют две операторные ЭДС за счет ненулевых начальных значений тока в индуктивности и напряжения на конденсаторе, а именно:

3. Расчет операторной модели, изображенной на рис. 9.6, б, проведем относительно изображения напряжения на конденсаторе ?/_с(р). Оно равно разности операторных потенциалов точек «а» и «б» схемы на рис. 9.6, б:

Изображение U._x6(p) для цепи, представленной на рис. 9.6, б, удобно определить методом узловых потенциалов. Принимаем операторный потенциал узла «б» (р_в(р) равным нулю, тогда для узла «а» по методу узловых потенциалов можем записать уравнение.

В уравнении (9.14) операторные проводимости ветвей F,(/)), Y₂(j>), Y₃(p) обратны их операторным сопротивлениям:

Из уравнения (9.14) выражаем операторный потенциал узла «а» ср_а(р). Он равен искомому изображению U._d6(p):

После подстановки числовых значений параметров для ?/_а6(р) получаем.

4. Переход от изображения (9.15) к оригиналу проведем с помощью теоремы разложения, поскольку оно представляет собой отношение двух алгебраических многочленов:

где F_{(p) = 4 • 10 V + 24р + 48 • 10³; F₂(p) = 0,2 • 10 ³р³ + р² + 1200р.

Предварительно решаем уравнение F₂(p) = 0, находим его корни: р₀ = 0; р, = = -2000; р₂ = -3000.

Таким образом, мы имеем дело со случаем различных корней многочлена знаменателя в изображении вида (9.10) и можем воспользоваться формулой.

(9.11) теоремы разложения.

Поскольку уравнение F₂(p) имеет три корня, оригинал изображения (9.15) содержит три слагаемых. В соответствии с формулой (9.11).

С целью получения численного результата для и_аб(?) выполняем следующие расчеты:

Найденные числовые величины подставляем в выражение (9.16):

Таким образом, для искомых функций времени получаем.

Качественные графики функции u_c(t) и i₃(t) по полученным выражениям приведены на рис. 9.6, в.