Оценка контрастов post hoc и планируемое сравнение групп

Очень часто основная задача исследователя состоит не в том, чтобы просто определить влияние независимой переменной на зависимую, а в том, чтобы оценить характер такой зависимости. Например, в рассмотренном выше примере, касающемся эффективности трех методик обучения, можно заметить, что первая и вторая методики существенно не отличаются друг от друга, тогда как третья явно превосходит их по эффективности. В дисперсионном анализе предусмотрены специальные процедуры, которые позволяют исследовать такого рода закономерности.

В ситуации, когда исследователя интересует именно характер влияния независимой переменной на зависимую, говорят об оценке контрастов. В зависимости от того, как конкретно происходит оценка контрастов, выделяют априорные и апостериорные контрасты.

Метод выделения апостериорных контрастов предполагает выделение контрастных групп, на основе уже полученных данных. Обычно его обозначают как анализ post hoc.

Выделение априорных контрастов предполагает наличие у исследователя более или менее разработанной модели, описывающей характер связи между независимой и зависимой переменными. В этом случае связь независимой и зависимой переменных может быть оценена не только качественно, но и количественно. Такой анализ обозначается как планируемое сравнение групп.

Анализ post hoc является аналогом t-теста Стьюдента. В этом случае осуществляется попарное сравнение групп. Однако в отличие от стандартного t-теста в этом случае внутригрупповая дисперсия оценивается по всем данным, а не только по тем, которые относятся к исследуемым группам:

Разработаны несколько вариантов тестов post hoc. Отличия между ними заключаются главным образом в способах оценки надежности (значимости) данной статистики. Перечислим наиболее известные варианты анализа контрастов post hoc.

• • метод наименьших значимых различий (LSD);
• • тест Шеффе (Schejfe);
• • тест Тьюки (Tukey);
• • тест Дункана (Duncan);
• • тест Бонферрони (Bonfetroni).

Метод наименьших значимых различий (LSD) был разработан еще Р. Фишером и является почти полным аналогом t-теста. В случае использования этого метода оценка значимости статистики t' осуществляется на основе двухстороннего теста Стьюдента. Следует, однако, иметь в виду, что использование данного метода оценки контрастных групп сопряжено с повышенным риском ошибки первого рода. Иными словами, применение этого теста с очень большой долей вероятности может привести к обнаружению различий между группами в ситуации, когда таких различий на самом деле нет или они несущественны.

Тест Шеффе, напротив, считается наиболее консервативным. Полученное значение t' при использовании этого теста сравнивается со значением статистики, которое находится на основе критического значения F-распределения с соответствующими экспериментальной модели степенями свободы:

Тесты Тьюки, Дункана, Бонферрони и др. являются, как правило, оптимальным выбором, так как они менее консервативны по сравнению с тестом Шеффе и при этом не тяготеют к ошибке первого рода.

Теперь рассмотрим метод априорных контрастов.

В этом случае контрастом называется сумма.

где cj — коэффициенты контраста, при которых должно выполняться соотношение .

Предположим, теоретические расчеты показывают, что между двумя переменными X и Y должна наблюдаться линейная зависимость. Такая зависимость, например, предполагается психофизическим законом Вебера — Фехнера между логарифмом стимуляции и величиной ощущения. Пусть у нас имеются данные, относящиеся к четырем группам испытуемых, которые оценивали стимулы разной величины. Тогда коэффициенты контраста для этих оценок могут быть заданы следующим образом: -3; -1; 1; 3.

Как видим, сумма коэффициентов контраста в нашем случае действительно оказывается равной нулю, при этом переход от одной группы к другой происходит на одну и ту же величину, всякий раз на два пункта. Таким образом, мы имеем линейную зависимость, которая наглядно представлена на рис. 3.2 (данная модель предполагает линейную связь между независимой и зависимой переменной).

Теперь можно рассчитать значение суммарного квадрата для этого контраста. Для этого следует воспользоваться формулой.

(3.9).

Эта статистика имеет одну степень свободы. Поэтому она оказывается равной среднему квадрату.

Для оценки статистической надежности данной модели требуется построить статистику F:

Рис. 3.2. Оценка априорных контрастов для четырех групп испытуемых.

Оценка данной статистики осуществляется с помощью F-распределения с одной степенью свободы в числителе и числом степеней свободы среднего квадрата ошибки в знаменателе.

Та же оценка может быть выполнена с помощью t-распределения Стьюдента. Именно такой вариант оценки предлагается в статистическом пакете IBM SPSS Statistics. В этом случае строится статистика t, производная от статистики F, так что выполняется соотношение.

Следует обратить внимание на то, что метод априорных контрастов позволяет не просто определить статистические различия между различными уровнями независимой переменной, но и выразить количественно характер этой связи. Понятно, что такая возможность открывается нам только тогда, когда независимая переменная оказывается количественной и представлена в метрической шкале, предполагающей непрерывность этой переменной.

Чем больше уровней независимой переменной исследуется в эксперименте, тем сложнее зависимость можно проследить. Так, двухуровневая независимая переменная позволяет оценить лишь линейную зависимость между ней и зависимой переменной, трехуровневая дает возможность наряду с линейной проследить и квадратичную зависимость. Соответственно, независимая переменная, принимающая в эксперименте k различных значений, дает возможность определить эффекты вплоть до степени k — 1. Такие зависимости называют полиномиальными.