Структурные средние. 
Статистика

Наиболее часто в экономической практике применяют такие структурные средние, как мода и медиана. Мида представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медиана — это значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от нее меньше, чем от любой другой величины:

Вычисление моды и медианы зависит от того, какими данными мы располагаем: несгруппированными или сгруппированными.

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным. Предположим, что девять строительных организаций имеют следующий объем кредиторской задолженности (тыс. руб.):

Мода отражает наиболее распространенный вариант значений признака. Так как чаще всего встречаются организации с величиной кредиторской задолженности 34,3 тыс. руб., то она и будет модальной.

Для определения медианы необходимо построить упорядоченный (ранжированный) ряд:

Медиана делит упорядоченный ряд на две равные по числу единиц части так, что у половины единиц значение признака меньше медианы, а у другой половины больше нее.

При нечетном числе единиц совокупности порядковый номер медианы

где п — число единиц совокупности.

В нашем примере номер медианы равен пяти, а ее величина составляет 34,4 тыс. руб., так как одна половина организаций имеет дебиторскую задолженность менее 34,4 тыс. руб., а другая — более 34,4 тыс. руб.

Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя двух центральных значений. Допустим, в нашем примере дополнительно учтена еще одна организация с величиной кредиторской задолженности 34,7 тыс. руб., т. е. п = 10. В этом случае порядковый номер медианы будет (п + 1):2 = 5,5. Следовательно, она расположена между пятым и шестым номерами ранжированного ряда и ее величина составляет (34,4 + 34,4): 2 = 34,4 тыс. руб.

Медиана, в отличие от средней арифметической, не зависит от минимального и максимального значений ряда распределения. Допустим, что в приведенном примере дополнительно учтенная организация имела бы кредиторскую задолженность нс 34,7, а 54,0 тыс. руб. Медиана в этом случае все равно останется равной 34,4 тыс. руб. В то же время средняя арифметическая в результате такой замены величины признака увеличится с 34,43 до 36,36 тыс. руб.

Медиана практически выполняет функции средней для неоднородной совокупности, а также в тех случаях, когда имеют место резкие различия между максимальным и минимальным значениями изучаемого признака.

Моду и медиану можно рассматривать как порядковые характеристики значения признака у единицы совокупности, занимающей особое место в ряду распределения. Каждая из этих средних величин соответствует конкретному значению признака в отличие от средней арифметической, полученной расчетным путем. Последняя, так же как мода и медиана, является именованной величиной, но она не совпадает (за редким исключением) по своей величине ни с одним значением признака у единиц совокупности. Средняя арифметическая часто используется как показатель центра распределения, положительные и отрицательные отклонения от которого индивидуальных значений признака в сумме взаимно погашаются. Медиана отражает значение признака, сумма отклонений от которого является наименьшей величиной. Мода — это величина, вокруг которой группируется наибольшее количество единиц совокупности. При нормальном распределении все эти три показателя имеют одинаковую величину.

Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (по рядам распределения). Предположим, что имеется дискретный ряд распределения, который представлен в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Группировка предприятий региона по уровню рентабельности активов

Определение моды, но данным дискретного ряда распределения не составляет большого труда — наибольшую частоту (17 предприятий) имеет величина рентабельности 19%, следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака по приведенной выше формуле находим номер медианной единицы ряда NMe. В нашем случае он равен 25,5. Полученное дробное значение указывает, что точная середина находится между 25 и 26 предприятиями. Необходимо установить, к какой группе относятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты (гр. 3 табл. 3.5). Очевидно, что предприятия с этими номерами находятся в третьей группе (4 + 8 + 17 = 29) и, следовательно, медианой является уровень рентабельности, составляющий 19%.

Если моду и медиану находят не по дискретным, а по интервальный рядам, то требуется проведение дополнительных расчетов. Для определения значения моды сначала устанавливают интервал, обладающий наибольшей частотой (модальный интервал), а затем рассчитывают моду, но следующей формуле:

где - нижняя граница модального интервала; i — величина модального интервала; - частоты интервалов соответственно модального, - предшествующего ему и - следующего за ним.

Для определения медианного интервала используют ряд накопленных частот. Медианным является интервал, в котором накопленная численность единиц совокупности составляет более половины их общего числа (накопленная относительная численность более 50%). Величина медианы рассчитывается на основе формулы.

где - нижняя граница медианного интервала (таковым называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); i — величина медианного интервала; - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; - частота медианного интервала.

Проиллюстрируем применение этих формул, продолжая рассмотрение примера о распределении кредитных организаций по величине активов (табл. 3.6).

Таблица 3.6

Группировка кредитных организаций региона по величине активов

Интервал с границами 135−145 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Используя приведенную выше формулу, рассчитаем моду:

Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит ½ суммы накопленных частот.

В нашем случае медианным является интервал с границами 135−145. Теперь рассчитаем медиану:

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если , то имеет место правосторонняя асимметрия ряда; при она будет левосторонней. В нашем примере наблюдается правосторонняя асимметрия распределения кредитных организаций по величине активов, так как наиболее распространенной является величина активов, равная 140,71 млн руб. В то же время более половины кредитных организаций располагают активами свыше 142,35 млн руб. при среднем уровне 143,28 млн руб. (см. табл. 3.3 и 3.6).