Математические методы и модели анализа и прогнозирования экономических показателей

Развиваемые компетенции:

знать

• модели прогнозирования экономических показателей;

уметь

• использовать экстраполяционные и адаптивные методы для прогнозирования экономических показателей;

владеть

• математическими методами и моделями анализа и прогнозирования экономических показателей.

Простейшие способы прогнозирования

Прогнозы экономических показателей, рассчитываемые с использованием математических методов и моделей, являются условными прогнозами. Условными они считаются в том смысле, что при составлении прогноза с использованием того или иного математического метода либо математической модели выдвигаются определенные условия, связанные с развитием исследуемого показателя в прогнозируемом периоде. Например, что среднее значение прогнозируемого показателя не имеет тенденции к изменению или она незначительна либо, что та тенденция развития показателя, которая имела место в предыстории, сохранится и в прогнозируемом периоде и др. В зависимости от выдвигаемого условия применяется соответствующий метод прогнозирования, позволяющий определить прогнозное значение показателя лишь при неизменности предполагаемого условия. Иными словами, прогноз, полученный с использованием конкретного математического метода или модели можно считать обоснованным лишь при выполнении предварительно выдвинутого одного или нескольких определенных условий.

В самом простом случае делается предположение о том, что среднее значение показателя, представленного динамическим рядом, не имеет тенденции к изменению. Тогда прогнозное значение показателя, называемое точечным прогнозом, можно рассчитать по следующему соотношению:

(13.1).

где п — количество наблюдений в исходном динамическом ряде; k — период упреждения; - среднее значение ряда, равное .

Рассчитанное среднее значение представляет собой нс «истинное» среднее значение прогнозируемого показателя, а лишь его оценку, так как показатель представлен не генеральной, а выборочной совокупностью, т. е. это выборочное среднее значение, которое при увеличении или уменьшении длины динамического ряда изменяется. Для более глубокого анализа, исследуемого показателя целесообразно рассчитать погрешность выборочной средней, а также доверительный интервал, в котором с заданной вероятностью находится среднее значение. Границы доверительного интервала определяются следующим образом:

(13.2).

где t — табличное значение t-критерия Стьюдента с п — 1 степенями свободы и уровнем вероятности р; t-критерий Стьюдента позволяет оценить, с какой вероятностью р найдено среднее значение, если оно будет находиться в пределах доверительного интервала; - средняя квадратическая ошибка средней, которая вычисляется по формуле.

(13.3).

Здесь s — среднее квадратическое отклонение выборки.

(13.4).

Определенный по формуле (13.2) доверительный интервал учитывает погрешность, связанную лишь с варьированием среднего значения выборки, т. е. по-прежнему остается в силе предположение о том, что прогнозное значение с заданной вероятностью будет равно среднему значению. Однако часто некоторые значения исходного динамического ряда выходят за пределы границ доверительного интервала выборочного среднего. Следовательно, существует вероятность того, что такого рода наблюдения, выходящие за границы доверительного интервала выборочного среднего, могут быть и в прогнозируемом периоде. Поэтому при расчете доверительного интервала прогнозных оценок данное обстоятельство необходимо учитывать. При этом дисперсия, учитывающая как варьирование (дисперсию) оценки среднего значения, так и варьирование (дисперсию) отдельных наблюдений относительно средней, будет равна их сумме . Соответственно, среднее квадратическое отклонение и, следовательно, доверительные интервалы прогнозных оценок должны вычисляться по формуле.

(13.5).

Рассчитаем в качестве примера точечный прогноз и доверительные интервалы рентабельности предприятия на один шаг по данным, приведенным в гл. 6.

Как и в рассматриваем примере, будем считать, что рентабельность предприятия тенденции к изменению не имеет. В качестве точечного прогноза этого показателя на 2004 г. возьмем его среднее значение . Среднее квадратическое отклонение, вычисленное по формуле (13.4), будет s = 4,9, границы верхнего и нижнего интервала с вероятностью p = 0,7 (t =1,0997) будут равны, или после подстановки получим , т. е. значение рентабельности предприятия в 2004 г. с вероятностью р = 0,7 будет находиться в пределах 18,26? 6,94. Как мы видим, границы, в пределах которых с небольшой относительно вероятностью будет находиться значение данного показателя, очень широки. Причем при увеличении вероятности границы будут расширяться. Видимо, предположение об отсутствии тенденции в среднем значении рентабельности данного предприятия недостаточно обоснованно.

К простейшим методам прогнозирования можно отнести также методы, при использовании которых делается предположение о неизменности уровней ряда, , т. е. считается, что уровни ряда неизменны, иди , здесь делается допущение о постоянстве абсолютных изменений. В настоящее время при краткосрочном прогнозировании экономических показателей широко используются скользящие средние, в частности экспоненциальные. При применении экспоненциальных средних для прогноза на один шаг вперед принимается, что.

(13.6).

Здесь - сглаженное значение показателя у методом экспоненциальной средней. Оно рассчитывается по формуле.

(13.7).

где? — коэффициент сглаживания, характеризующий вес текущего наблюдения ().

Доверительные интервалы при прогнозировании с использованием экспоненциальной средней (табл. 13.1) определяются по скорректированной формуле (13.5):

(13.8).

Найдем точечный и интервальный прогнозы на один шаг вперед для ранее рассмотренного показателя рентабельности предприятия с учетом экспоненциальной средней. В этом случае делается предположение, что относительный вес каждого наблюдения по мере его удаления в прошлое убывает соответственно экспоненциальной функции. Примем в качестве начального значения экспоненциальной средней величину у1 и три варианта для коэффициента сглаживания а: 0,1; 0,3; 0,5. Расчеты представлены в табл. 13.2.

Таблица 13.1

Экспоненциальные средние для экономической рентабельности предприятия

Годы.
		7,9.		9,7.	11,5.
		8,71.		11 59.	13,75.
		8,239.		9,313.	8,875.
		8,7151.		10,4191.	10,9375.
		9,34 359.	11,79 337.		12,96 875.
		9,909 231.	12,75 536.		13,98 438.
		9,718 308.	11,32 875.		10,99 219.
		9,946 477.	11,53 013.		11,49 609.
		10,95 183.	14,7 109.		15,74 805.

Таблица 13.2

Результаты прогнозирования с использованием метода экспоненциального сглаживания

			Упрогноз.	Верхняя граница.	Нижняя граница.
0,1.	5,793 036.	6,536 196.	10,952.	17,48 803.	4,415 633.
0,3.	4,160 681.	4,9629.	14,071.	19,3 399.	9,108 188.
0,5.	3,96 157.	3,931 633.	15,748.	19,67 968.	11,81 641.

Как видим, доверительные интервалы прогнозных оценок рентабельности предприятия при использовании метода экспоненциального сглаживания у? же, чем при использовании среднего значения и они уменьшаются при увеличении параметра а. Однако следует иметь в виду, что при повышении значений параметра а, сглаживающие возможности экспоненциальной средней уменьшаются, значимость текущих наблюдений — увеличивается.