Теорема лиувилля о вполне интегрируемых гамильтоновых системах

Задача интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2п в случае общего положения эквивалентна задаче об отыскании 2п независимых первых интегралов. Если уравнения являются системой канонических уравнений Гамильтона, то достаточно знать и первых независимых интегралов в инволюции, чтобы найти ее общее решение.

• 0.16.1. Говорят, что два первых интеграла F_t(x, /), F₂(x, i), х = (p_h …, р_п, q|, …, q_n) находятся в инволюции, если их скобка Пуассона
• (F_bF₂) = 0.

для вычисления скобки Пуассона и краткой записи уравнений Гамильтона, а именно.

Оператор I невырожден, так как I² = ~Е_гп.

Т (Лиувилль). Если F_x(x, I), …, F"(x, t) — система независимых первых интегралов в инволюции, то канонические уравнения (16.2) интегрируются в квадратурах. Это означает, что для отыскания общего решения необходимо вычислить ряд первообразных.

А Поскольку функции F,(x, /), …, F"(x, t) независимы, то ранг матрицы dF_k/dx^, k = 1, я, j= 1, 2я, равен я. Не нарушая общности, будем считать, что det dF_k/dp, || * 0. Если это не так и.

det ||dF_k/dXj * 0, где принимает значения .…, q,, q, ,

то всегда можно сделать каноническую замену переменных, при которой обобщенные координаты q, перейдут в обобщенные импульсы Р_1т и в новых переменных det ^dFJdP, * 0.

Таким образом, система уравнений F*(p, q, t) = a_k, k= 1, … л, разрешима относительно р и эквивалентна равенствам Ф*(х, i)=P_k~f_k(Ч- а, 0 = 0, к= 1, я, а = (0|,а"). (16.3).

Л. Функции {ф*}=1 образуют систему первых интегралов в инволюции на многообразии М= {х: F_k(x, t) = a_k, k= 1, …, л} c R²" .

А Если зафиксировать набор (Д|, …, а"), то для всякой фазовой траектории, лежащей на М, функции ф* = 0, k= 1, …, л, т. е. (ф|, …, ф_я) — совокупность первых интегралов. Так как ф* = 0 на М, то У_хц>_к ? = 0 для любого вектора % из касательного пространства Т_ХМ={%: R²ⁿ, t, V_xF_k = 0, к= 1, …, л) и, следовательно, У_хф* принадлежит ортогональному дополнению N_XM = {х :г =

⁼ } к касательному пространству Т_ХМ, т. е.

*?' п

хФ* = Z^km^xE_m. Вычислим скобку Пуассона.

Ш.-1

так как функции F_mn Fj находятся в инволюции. ?

то имеем равенства.

Рассмотрим дифференциальную форму ~Lp_kdq_k — Hdt на многообразии М и покажем, что она есть полный дифференциал функции Щц, а, 1), где, а = (о, а") рассматривается как параметр.

Имеем.

где f= (/" «…,/»). Условия Коши полного дифференциала выражения (16.6) представляются равенствами (16.5) и условиями.

где Я. = Я (С, q, t). Поскольку f_k{q, a, t) = р_к, то с учетом равенства (16.5) получим.

С другой стороны, в силу канонических уравнений Гамильтона dpjdt = -dH./dq_k, что и доказывает справедливость равенств (16.7).

При изменении параметров а_х, …, а" справедливо равенство.

Заменим, а наQ и примем функцию H^q, -Q, /) за производящую функцию канонического преобразования от переменных (р, q) к переменным (Р, Q). Имеем.

Новый гамильтониан К (Р_% Q, г) согласно предыдущему тождеству равен нулю, и следовательно, новые канонические переменные постоянны. Другими словами, выражения.

суть первые интегралы исходных канонических уравнений движения, отличные от заданных.

Для вычисления функции W (q_y а, г) необходимо вычислить криволинейный интеграл в расширенном конфигурационном пространстве (q, t)

где Aq — начальная точка, а А — произвольная точка пространства (q, /). Указанный интеграл не зависит от пути, соединяющего точки Aq и А.

Покажем в заключение, что det ^ ^ *0. Имеем d²^ =j^-.

Idq_kda_m dq_kda_m да_т

Далее.