Метод последовательных нагружений

В данном методе все действующие на тело нагрузки P._t разбиваются на N частей ДР, (равных или неравных). Для нулевого шага напряженное состояние определяется из решения задачи для линейно-упругого материала при нагружении тела нагрузками Д/-*⁰⁾, где под Р подразумевается произвольная нагрузка^[1]. На первом, втором и последующих этапах решение находится при использовании закона Гука в форме (1.12), в котором в качестве модуля упругости рассматривается касательный модуль Е_к (см. рис. 7.1). Для гг-го шага касательный модуль вычисляется по формуле.

a в, вычисляется по формуле (1.11) после суммирования деформаций на всех предыдущих этапах нагружения. В частности, в рассматриваемой в данном параграфе задаче для s, справедливо соотношение.

где.

Коэффициент поперечной деформации v, входящий в соотношения (1.12), вычисляется по второй из формул (1.15):

Величина Е_х определяется по формуле.

в которой v₍₎ и Е₀— соответственно коэффициент Пуассона и модуль Юнга материала; Е_с = /(в_;)/е, — секущий модуль, а ?? вычисляется по формуле (7.6).

Компоненты напряжений, соответствующие полной нагрузке, находятся суммированием.

где каждый член суммы определяется из решения задачи с нагрузкой А1*^п) и константами ?*^я-1) и v^(w₁).

Таким образом, в обоих приближенных методах задача сводится к решению уравнения (2.18) с граничными условиями (2.26).

Простейшее сопоставление двух методов и сравнение результатов с точным решением проведем, ограничившись в каждом из методов двумя приближениями. Форма решения на нулевом (линейном) шаге итерационного процесса и по методу последовательных приближений (МПП), и по методу последовательных нагружений (МПН) будет одна и та же —.

Из закона Гука с учетом равенств v = 0,5 и е₂ = 0 находим.

После подстановки полученных выражений для деформаций в формулу (7.6) найдем интенсивность деформаций:

после чего для секущего и касательного модулей получаются выражения.

где.

Зная ?_с⁽⁰⁾ и ?_к⁽⁰⁾, можно найти решение на следующем шаге. Уравнение (2.18) в этом случае представляется в виде.

где вместо Е нужно подставить соответственно ?'_с⁽⁰⁾ и ?'_к⁽⁰⁾. Решая это уравнение и удовлетворяя граничным условиям.

найдем:

МПП:

МПН:

Здесь В.= 4-^a-^2e, 6 = 1,2. а² а Равенства (7.9) дают окончательные значения напряжений по методу последовательных приближений. В то же время для определения напряжений по методу последовательных нагружений требуется сложить (7.10) с (7.8). В итоге получим МПН:

Коэффициенты концентрации напряжений, вычисленные по аналогии с точным решением, в рассматриваемых приближенных методах равны k_c = 1,613 (МПП) и k₀ = 1,792 (МИН). Сравнивая полученные результаты с точным решением (k_o = 1,480), можно заметить, что сходимость метода последовательных приближений лучше, чем сходимость метода последовательных нагружений. На основании этого достаточно простого сравнения приведем результаты расчета, выполненные методом последовательных приближений.

На /?-м этапе итерационного процесса решается уравнение (2.18) с коэффициентами.

где ?, и Vj определяются равенствами (1.15), а входящий в эти соотношения секущий модуль Е_с — формулой.

в которой вычисляется согласно формуле (7.6). При этом для /7=1 решается линейная задача, в которой напряжения не зависят от Е и v.

Уравнение (2.18) с коэффициентами (7.11) на каждом шаге итерационного процесса решалось методом прогонки [10]. Сопоставление численных значений для несжимаемого материала при b —? °о с точным решением (7.4) позволило установить необходимую густоту сетки на отрезке (а, b) и определить количество шагов итерационного процесса. Как и следовало ожидать, сходимость метода в значительной степени зависит от нагрузки. При малых давлениях, когда поведение материала близко к линейному, для получения необходимой точности, которая оценивалась по уело- ^ВИЮК" 12 — ^CTo’maJ < O. OOllcj^J, достаточно 2−3 итераций. Если же нагрузка приближается к значениям, при которых е,^{= ?}i, max ^на диаграмме «0, -8,» (см. рис. 7.1), то для получения той же точности необходимо сделать 12—15 приближений.

На рис. 7.2 приведены эпюры напряжений а₀, вычисленные для линейнои нелинейно-упругого материалов с константами Е= 3−10¹ МПа; А = 2 • 10° МПа; а = 1,5; v₀ = 0,2 при действии на трубу с размерами а = 0,3 м и Ь = 0,5 м внешнего давления р_ь.

Рис. 7.2. Эпюры напряжений ст₀ в толстостенной трубе:

1 — р_ь = 30 МПа; 2 — р_ь = 50 МПа; пунктирные линии — линейноупругий материал; сплошные линии — нелинейно-упругий материал Из приведенных графиков следует, что учет нелинейности может существенно сказываться на напряженном состоянии толстостенной трубы, при этом с ростом нагрузки влияние нелинейности возрастает. В некоторых случаях происходит не только количественное, но и качественное изменение эпюры а₀. Так, при давлении/?, = 50 МПа максимум эпюры а₀ смещается внутрь стенки трубы. В то же время можно заметить, что напряжения вблизи внешней поверхности по сравнению с линейной задачей возрастают. Этот факт легко объясняется рассматривавшимся ранее интегральным условием равновесия.

Следует подчеркнуть, что рассмотренная методика и расчет могут проводиться лишь до таких значений нагрузок, при которых интенсивность напряжений во всем объеме трубы не превосходит максимального значения на диаграмме «а, — е,». Это значение определяется константами Е, А, а и равно.

Учитывая равенство (7.3), можно написать условие, при котором расчет производится на восходящей ветви диаграммы «а, — 8,»:

Как показывает анализ, разность | а, — а₀1 достигает максимума всегда на внутренней стенке трубы (даже в случае смещения максимума напряжений а₀) и с учетом р_а = О в данной задаче будет равна | а₀ = (г = а) |. Нагрузкаp_h = 50 М Па как раз соответствует условию (7.12).

Особый интерес представляет исследование влияния на напряженное состояние в трубе начального значения коэффициента Пуассона v₀. В табл. 7.1 даны значения напряжений а_{0 а} и ст_{0 шах} в зависимости от v₀ прир_ъ = 50 МПа для приведенных выше параметров материала и размеров трубы. Можно заметить, что при изменении v₀ в пределах от 0 до 0,5 напряжения меняются весьма незначительно, откуда можно сделать определенный вывод, что при решении задач для нелинейно-упругого материала гипотеза о несжимаемости материала является вполне приемлемой.

Таблица 7.1

Влияние начального значения коэффициента Пуассона на напряжения а₀ (МПа) в т рубе.

• [1] Предполагается, что осуществляется простое нагружение, одним из упрощенных определений которого является условие пропорциональнос ти всех внешних нагрузок одному параметру.