В теории бесконечных групп значительное место занимают исследования бесконечных групп с различными условиями конечности, т. е. групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп. Результаты исследований, представленные в данной работе, связаны с условием насыщенности группы заданным множеством групп.
Группа G насыщена группами из множества групп £К, если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из.
Понятие насыщенности впервые появилось и оформилось в работах А. К. Шлёпкина [38−46] и было обусловлено следующим обстоятельством.
При изучении групп с различными условиями минимальности (для всех подгрупп, абелевых подгрупп, примарных подгрупп и т. п.), как правило, необходимо было установить строение некоторой периодической группы с заданной системой конечных простых неабелевых подгрупп. Анализ этой системы подгрупп приводил в большинстве случаев к тому, что такая группа оказывалась локально конечной. Поэтому естественно было рассмотреть произвольную группу, содержащую данное множество конечных простых неабелевых подгрупп, в качестве самостоятельного условия конечности.
Как оказалось, «насыщенность» является естественным обобщением понятия покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторо-вича [12,13]. В конце 60-х годов П. Г. Конторович, A.C. Пекелис и А. И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [14]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [14]. В начале 80-х годов В. В. Беляев [2] и независимо A.B. Боровик [3], С. Томас [60], Б. Хартли и Г. Шют [55] доказали следующую теорему:
Если локально конрчнпя группа G обладает локальным покрытием, состоящим из множества подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.
Напомним понятие локального покрытия. Множество Ш подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = [J X и для любых X, Y € найдется такой хеш элемент Z € 9TI, что X С Z и Y C Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Конструкция периодических произведений С. И. Адяна [1] позволяет строить периодические группы, насыщенные конечными множествами групп, содержащими любые конечные наборы групп нечётного порядка. Подобными свойствами обладают и примеры групп А. Ю. Ольшанского (см. [29−31]). И. Г. Лысёнок [19] и C.B. Иванов [53] показали, что группы В (т, п) при достаточно больших чётных п насыщены прямыми произведениями групп диэдра. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена группами из конечного множества. То же самое справедливо и для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как они обладают бесконечными локально конечными подгруппами [40].
В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возник следующий вопрос, поставленный А. К. Шлёпкиным и вошедший в Коуровскую тетрадь [25] под номером 14.101:
Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?
Решением вопросов, связанных с понятием «насыщенности», посвящены работы Б. Амберга, J1.C. Казарина, A.A. Кузнецова, Д. В. Лыткиной, В. Д. Мазурова, Д.Н. Панюшки-на, А. Г. Рубашкина, А. И. Созутова, JI.P. Тухватуллиной, А. К. Шлёпкина (см. обзор [63]). При этом в качестве групп насыщающего множества рассматривались не только простые группы. К направлению «насыщенности» относится и настоящая диссертационная работа.
Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шун-кова, насыщенных различными множествами конечных групп, а также изучению групп периода 5. При этом используются методы локального анализа конечных групп, адаптированные к исследованию периодических групп. Кроме того, используются компьютерные вычисления для установления строения некоторых групп.
Результаты диссертации в период с 2005 по 2011 год были представлены на международных конференциях в Екатеринбурге, Красноярске, Нальчике, Новосибирске. В частности, на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А. И. Старостина (Екатеринбург, 2011), автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах КрасГАУ «Математические системы», СФУ «Городской алгебраический семинар» и семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН. Основные результаты опубликованы с полными доказательствами в работах [61,70−75] и принадлежат лично диссертанту.
Основные результаты диссертации состоят в следующем:
1. Доказано существование периодической части в группах Шункова, насыщенных группами вида Lz (q) (соответственно, S, L2(<7)), установлен её изоморфизм с группой L^iQ) (соответственно, SLziQ)) над подходящим локально конечным полем Q (теоремы 2.4.1, 2.5.1).
2. Доказано, что периодическая группа Шункова. насыщенная множеством простых трехмерных унитарных групп Us (q) над конечными полями, изоморфна группе U%{Q) над подходящим локально конечным полем Q (теорема 3.6.1).
3. Доказано, что если периодическая группа G насыщена конечными простыми неабеле-выми группами и в любой её конечной 2-подгруппе К все инволюции лежат в центре К, то G изоморфна одной из следующих групп: Jb Li (Q), Re (Q), U3(Q), Sz (Q) для подходящего локально конечного поля Q (теорема 3.7.1).
4. Установлено строение периодической группы Шункова G, насыщенной прямыми произведениями X х Y, где X принадлежит множеству групп вида L2(pn), Sz (22m+1), Re (32s+1) и содержит элемент фиксированного простого порядка и нечетным порядком его централизатора, а Y принадлежит некоторому множеству конечных 2-групп. Доказано, что G = R х Ог (С?), где R изоморфна одной из групп L2(F), Sz (P), Re (E) для подходящих локально конечных полей F, Р, Е (теорема 4.4.1).
5. Получено описание централизатора инволютивного автоморфизма <*р универсальной конечной бернсайдовой группы периода 5 с двумя образующими: В0(2, 5) = (х, у), переставляющего её образующие. Доказано, что его порядок равен 517- 3 — минимальное число порождающих, ступени нильпотентности и разрешимости равны б и 3 соответственнополучено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов (теорема 5.2.1).
6. Вычислен диаметр Кэли и получена функция роста для подгруппы Я = (ху, ух) группы В0{2,5) — {х, у) (теорема 5.4.1).
Перейдём к более подробному изложению содержания диссертации, которая состоит из пяти глав и списка литературы из 127 наименований.
Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий), а также определений, предложений и таблиц сквозная внутри параграфа и состоит из трёх цифр: первая — номер главы, вторая — номер параграфа и третья — порядковый номер внутри параграфа.
В данном разделе приведена характеристика результатов работы.
