Спектр оператора Лапласа на однородных нормальных римановых многообразиях

Спектральная геометрия — область математики, которая исследует взаимосвязи между геометрическими структурами на многообразиях и спектрами канонически определенных дифференциальных операторов. Спектральная геометрия является сравнительно молодой и быстро развивающейся математической дисциплиной, многие задачи которой мотивированы вопросами, возникающими в акустике, квантовой механике и других областях физики. Далее будет рассматриваться случай оператора Лапласа-Бельтрами (лапласиана), заданного на множестве вещественных или комплексных функций компактного риманового многообразия. Под спектром Spec понимается множество собственных значений с учетом их кратности, т. е. размерностей пространств соответствующих собственных функций. Лапласиан естественным образом обобщается на случай комплекснозначных функций таким образом, что его спектр в комплексном и вещественном случаях совпадают. В данной работе проводится подробное исследование структуры пространств собственных функций в обоих случаях.

Из функционального анализа для компактного риманова многообразия М с метрическим тензором д известны общие свойства спектра лапласиана, из которых следует, что его можно представить как невозрастающую счетную дискретную последовательность неположительных чисел, каждое из которых повторяется конечное число раз, соответствующее кратности числа. Более того, каждая собственная функция лапласиана бесконечно дифференцируема (вещественно аналитична, если многообразие является вещественно аналитическим), и существует ортонормированный базис пространства L2(M, fig), состоящий из собственных функций лапласиана, где ца — мера на М, индуцированная тензором д, L2(M, fig) — пространство измеримых функций, квадраты которых интегрируемы, относительно меры /хд. Разложение функции / G L2(M, fig) по этому базису называется разложением в ряд Фурье.

В качестве примера спектра, приведем спектр лапласиана группы Ли Spin (5) с метрикой <7 индуцированной формой Киллинга, взятой с обратным знаком, вычисленный на основе алгоритма, полученного в этой работе. Как сказано выше, спектр лапласиана задается собственными числами Л и их кратностями с (А), которые, в случае группы Ли Spin (5), имеют следующий вид: ъ) = + vl~ 5)> гДе «ъ² G N, д) = ш Y1 [Ы» — v){v + v)]2¦ i/2+7)2 = 5—12Аv, t)?N, v>T).

Стоит отметить, что хотя спектр задан алгоритмически, и посчитать его в ограниченном диапазоне не представляет труда, но вот ответить на такой естественный вопрос: «Принадлежит ли заданное собственное число, А множеству Spec (Spin (5), д), т. е. существуют ли такие натуральные числа их и zv2, для которых верно равенство A (^i, щ) = А ?» уже не так-то просто. В данной работе с помощью применения теории бинарных квадратичных форм с целыми коэффициентами и теории чисел, и, используя разложение числа на простые множители, удалось ответить этот вопрос, а также удалось установить число слагаемых в сумме, приведенной выше.

Большинство исследований в спектральной геометрии затрагивают один из двух ее основных вопросов, которые могут быть сформулированы следующим образом:

1) Что можно сказать о спектре оператора Лапласа, исходя из геометрических характеристик многообразия?

2) Что можно сказать о геометрии многообразия, исходя из спектра его оператора Лапласа?

Задачи относящиеся к первому вопросу называются прямыми, ко второму — обратными.

Из инвариантности оператора Лапласа относительно изометрий следует совпадение спектров операторов Лапласа изометричных римановых многообразий. Таким образом, спектр лапласиана является изометричным инвариантом. Один из самых ранних результатов, относящийся к решению обратной задачи, принадлежит Г. Вейлю, который в 1911 использовал теорию интегральных уравнений, разработанную Д. Гильбертом, чтобы показать, что объем ограниченной области в евклидовом пространстве может быть определен по асимптотическому поведению собственных значений краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа. Этот частный результат показывает, что спектр лапласиана содержит в себе информацию о некоторых изометрических инвариантах многообразия, на котором он задан. В работе [21] доказано, что по спектру лапласиана связного компактного риманова многообразия можно определить размерность, объем, а также некоторые другие изометрические инварианты этого многообразия. Возникает вопрос: определяет ли спектр лапласиана многообразие, на котором он задан, с точностью до изометрии, т. е. всегда ли обратная задача тривиальна? В известной лекции М. Каца [34] этот вопрос образно сформулирован так: &ldquo-Можно ли услышать форму барабана? «. В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Первый пример изоспектральных, но не изометричных многообразий найден Дж. Милнором для размерности 16 в работе [36]. В дальнейшем были найдены целые семейства изоспектральных, но не изометричных многообразий. Отсюда, в частности, возникает следующий вопрос: для каких семейств метрик из изоспектральности будет следовать их изометричность? Риманова метрика д на компактном многообразии без края называется локально слышимой, если для достаточно близких к ней метрик д' справедливо утверждение: изоспектральность метрик д и д1 влечет их изометричность. В работе В. А. Шарафутдинова [19] доказана локальная слышимость метрики постоянной отрицательной секционной кривизны.

Как показано выше, спектр оператора Лапласа является одной из важнейших геометрических характеристик многообразия. Его прямое вычисление в общем случае является крайне затруднительной задачей, за исключением некоторых редких случаев. Одним из таких случаев, как доказывает данная диссертация, является класс однородных нормальных римановых многообразий.

В [22] спектр лапласиана вычислен в случае плоских торов, а в [33] в случае сфер со стандартной метрикой и в случае комплексных проективных пространств с метрикой Фубини-Штуди. В [13] для компактного плоского 3-многообразия была определена и вычислена функция следа, которая задает спектр лапласиана рассматриваемого многообразия. Работы [29] и [30] были найдены после получения основных результатов данной диссертации. В работе [29] Бирса и Милмана высказаны идеи, основанные на теории представлений, о сведении задачи поиска спектра лапласиана компактной полупростой группы Ли с биинвариантной (т.е. инвариантной относительно левых и правых сдвигов) римановой метрикой к алгебраической задаче, решение которой известно лишь в общих чертах. В работе [30] Феган развил эту идею в односвязном случае, получив некоторый алгоритм поиска спектра лапласиана, сформулированный на языке теории представлений и требующий еще обработки для прямого вычисления спектра.

Обзор результатов, полученных в спектральной геометрии, можно найти в работах [28], [32], [38].

Основные цели данной работы: исследование и разработка алгоритма поиска спектра лапласиана на однородных нормальных римановых многообразияхвычисление спектра лапласиана компактных простых групп Ли ранга один и два с биин-вариантными римановыми метриками.

Одним из основных инструментов по исследованию и поиску спектра лапласиана риманова многообразия является риманова субмерсия. Под римановой субмерсией понимается субмерсия римановых многообразий, ограничение дифференциала которой на ортогональное дополнение к ядру дифференциала в касательном пространстве каждой точки является изометрий соответствующих евклидовых пространств. Слоем называется прообраз точки субмерсии. Одним из основных результатов нашего исследования является следующее утверждение: спектр базы римановой субмерсии с вполне геодезическими слоями является подмножеством спектра тотального пространства. Стоит пояснить, что подмногообразие N риманова многообразия М является вполне геодезическим, если из того факта, что геодезическая многообразия М касается подмногообразия N в некоторой точке, следует, что она также является геодезической N.

Примером исследования спектра лапласиана с помощью римановой субмерсии является случай однородных пространств. Известно, что если М — однородное ри-маново многообразие, т. е. группа его изометрий действует на нем транзитивно, то оно изометрично фактор-пространству левых смежных классов, некоторой связной группы Ли (7 по ее компактной подгруппе Н. При этом на С существует такой метрический тензор и, что каноническая проекция р является римановой субмерсией. Если тензор V является биинвариантным, т. е. инвариантным относительно действия всех левых и правых сдвигов группы Ли С, то называется нормальным однородным римановым многообразием. Следующий важный результат данной работы формулируется так: р имеет вполне геодезические слои, а как следствие первого результата, Брее (М) С Брее ©.

Отметим, что оба из приведенных результатов были доказаны ранее в [22], но в данной работе дано их новое простое доказательство.

С помощью этих результатов исследование спектра лапласиана на однородных нормальных римановых многообразий в некотором смысле сводится к случаю прямого метрического произведения компактных односвязных простых групп Ли (? и тора с биинвариантными римановыми метриками. Далее с помощью методов теории представлений получается сначала доказать, что спектр лапласиана связной компактной группы Ли (? с метрикой V может быть получен из рассмотрения всех неприводимых комплексных представленийдля случая простой группы Ли (2 выводятся формулы для вычисления собственного значения, отвечающего рассматриваемому представлению, и кратности собственного числа через старшие веса представленийкак следствие предыдущих утверждений формулируется алгоритм поиска спектра лапласиана компактной односвязной простой группы Ли С с метрикой и. Стоит отметить, что ранее в статье [30] были получены первый и второй результаты из предыдущего предложения, но есть некоторые отличия. Во-первых, первый результат был доказан только для случая полупростых групп Ли. Во-вторых, при доказательстве первого результата автор использует такие крупные результаты теории представлений, как например, теорема Петера-Вейляв текущей работе для доказательства этого результата использовались лишь базовые понятия теории представлений.

Перечислим более детально основные результаты в порядке появления их в работе.

1. Получено новое доказательство теоремы о включении спектра базы римановой субмерсии с вполне геодезическими слоями в спектр тотального пространства, и как следствие, переход от исследования спектра лапласиана однородных нормальных римановых многообразий к исследованию спектра лапласиана прямого метрического произведения тора и конечного числа связных компактных односвязных простых групп Ли с биинвариантными римановыми метриками.

2. Разработан алгоритм поиска спектра лапласиана для случая связной компактной односвязной простой группы Ли с биинвариантной римановой метрикой.

3. Разработан обобщенный алгоритм поиска спектра оператора Лапласа для случая связной компактной простой группы Ли с биинвариантной римановой метрикой.

4. Разработан алгоритм поиска спектра оператора Лапласа на прямом метрическом произведении связных компактных простых групп Ли с биинвариантными римановыми метриками.

5. Произведены вычисления спектров операторов Лапласа на компактных простых группах Ли ранга один и два.

6. Для компактных односвязных простых групп Ли с биинвариантными римано-выми метриками ранга два установлена связь полученных формул, задающих спектр оператора Лапласа, с теорией чисел и целочисленными бинарными квадратичными формами.

Представленный список результатов показывает, что все цели исследования были достигнуты.

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях &ldquo-Современные проблемы анализа и геометрии&rdquo- (Новосибирск, 2009), &ldquo-Стохастические модели в биологии и предельные алгебры&rdquo- (Омск, 2010) и &ldquo-Петровские чтения&rdquo- (Казань, 2010), на международном геометрическом семинаре в рамках школы-конференции &ldquo-Лобачевские чтения-2009&rdquo- (Казань, 2009), на школе-семинаре &ldquo-Ломоносовские чтения на Алтае&rdquo- (Барнаул, 2010), на семинаре отдела анализа и геометрии в Институте математики СО РАН им. С. Л. Соболева под руководством академика РАН Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 2010).

Результаты диссертации опубликованы в работах [39], [41], [43], [44], [40], [42] и [45].

Диссертация изложена на 81 странице, содержит введение, главу с предварительными сведениями, две главы с полученными результатами и список литературы. Главы разбиты на параграфы, список литературы содержит 45 наименований.

1. Адамс Д. Лекции по группам Ли. М.: Наука, 1979.

2. Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. II // Сиб. матем. журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 14−28.

3. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

4. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.: Мир, 1981.

5. Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Главы 1-Ш. М.: Мир, 1976.

6. Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Главы IV-VI. М.: Мир, 1972.

7. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000.

8. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика.

Введение

в теорию чисел. М.: Наука, 1965.

9. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978.

10. Дынкин Е. Б., Онищик А. Л. Компактные группы Ли в целом // Усп. матем. наук, 1955. Т. 10, № 4(66). С. 3−74.

11. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

12. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

13. Исангулов Р. Р. Изоспектральные плоские 3-многообразия // Сиб. матем. журн. 2004. Т. 45, № 5. С. 1086−1111.

14. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982.

15. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1, 2.

16. Онищик А. Л. Топология транзитивных групп преобразований. М.: Физматлит, 1995.

17. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

18. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

19. Шарафутдинов В. А. Локальная слышимость гиперболической метрики // Сиб. матем. журн. 2009. Т. 50, № 5. С. 1176−1194.

20. Berestovskii V. N., Nikonorov Yu. G. Clifford-Wolf homogeneous Riemannian manifolds // J. Differential Geometry 2009. V. 82. P. 467−500.

21. Berger M. Geometry of the spectrum // Differential Geometry (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVII, Stanford Univ., Stanford, Calif., 1973), Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975. Part 2. P. 129−152.

22. Berger М., Gauduchon P., Mazet E. Le spectre d’une Vari’et’e Riemannienne // Lecture Notes in Math., V. 194. BerlinHeidelbergNew York: Springer-Verlag, 1971.

23. Buchmann J., Vollmer U. Binary Quadratic Forms (An Algorithmic Approach). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.

24. Buell D. A. Binary Quadratic Forms (Classical Theory and Modern Computations). New York, Berlin, Heidelberg, London, Paris, Tokyo, Hong Kong: Springer-Verlag, 1989.

25. Cartan E. Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicity plane // Bull. Soc. Math. 1913. V. 41. P. 53−96.

26. Conway J. H. The Sensual (quadratic) Form. Washington DC: Math. Accos. Amer., 1997.

27. D’Atri J. E. and Nickerson H. K. The existence of special orthonormal frames // J. Differential Geometry. 1968. V. 2. P. 393−409.

28. Duitstermaat J. J., Guillemin V. W. Spectral geometry of real and complex manifolds // Differential Geometry (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVII, Stanford Univ., Stanford, Calif., 1973), Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975. Part 2. P. 205−209.

29. Beers B. L., Millman R. The spectra of the Laplace-Beltrami operator on compact semisimple Lie groups // Amer. J. Math. 1977. V. 99, N 4. P. 801−807.

30. Fegan H. D. The spectrum of the Laplacian on forms over a Lie group // Pacific J. Math. 1980. V. 90, N 2. P. 373−387.

31. Gerstein L. J. Basic Quadratic Forms j j Graduate Studies in Mathematics, V. 90, Providence, RI: Amer. Math. Soc. 2008.

32. Gilkey P. B. The spectral geometry of real and complex manifolds // Differential Geometry (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVII, Stanford Univ., Stanford, Calif., 1973), Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975. Part 2. P. 265−280.

33. Ikeda A., Taniguchi Y. Spectra and eigenforms of the Laplacian on Sn and Pn© // Osaka J. Math. 1978. V. 15, N 3. P. 515−546.

34. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. 1966. V. 73, N 4, Part 2. P. 1−23.

35. Landau L. Elementary Number Theory. N.Y.: Chealsea Pub. Comp., 1966.

36. Milnor J. Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1964. V. 51. P. 542.

37. Onishchik A. L. Lectures on Real Semisimple Lie Algebras and Their Representations // ESI Lectures in Mathematics and Physics. Zurich, Switzerland: European Math. Soc. (EMS), 2004.

38. Rosenberg S. The Laplacian on a Riemannian Manifold // An Introduction to Analysis on Manifolds. London Mathematical Society Student Texts 31. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. Работы автора по теме диссертации.

39. Берестовский В. Н., Свиркин В. М. Оператор Лапласа на однородных нормальных римановых многообразиях // Матем. труды. 2009. Т. 12, № 2. С. 3−40.

40. Берестовский В. Н., Свиркин В. М. Оператор Лапласа на однородных нормальных римановых многообразиях // Тезисы международной конференции &ldquo-Современные проблемы анализа и геометрии&rdquo- 14−20 сентября 2009. Новосибирск. С. 14.

41. Берестовский В. Н., Свиркин В. М. Спектр оператора Лапласа на компактных односвязных простых группах Ли ранга два // Учен. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2009. Т. 151, № 4. С. 15−35.

42. Свиркин В. М. Спектр лапласиана прямого метрического произведения связных компактных групп Ли // Вестник Омского ун-та. 2011. № 2. С. 56−61.

43. Свиркин В. М. Спектр оператора Лапласа связных компактных простых групп Ли ранга один и два // Учен. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2010. Т. 152, № 1. С. 219−234.