Границы для числа вершин в графах и автоморфизмы графов

Для единого представления конечных простых групп перспективным направлением является поиск такого класса конечных геометрий, что каждая конечная простая группа действует флаг-транзитивно на некоторой геометрии и все геометрии этого класса допускают классификацию ([20]-[24], [37], [21]). Например, класс билдингов Титса характеризует группы лиева типа [38]. Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием. В частности, такой является задача классификации дистанционно регулярных графов [20].

Пусть С — транзитивная группа подстановок па. множестве 17. Если стабилизатор Ср точки р 6 имеет г орбит на то говорят, что С имеет подстановочный ранг г. Пусть г = 3 и соответствующие три орбиты — это {р}, А (р), Г (р). Тогда по группе С удается построить сильно регулярный граф Г, множество вершин которого О и две вершины р, д смежны в Г, если д 6 Г (р) [29].

Д. Хигман ([29]—[35]) развил теорию групп ранга 3. Эти группы являются группами автоморфизмов сильно регулярных графов, причем они действуют транзитивно как на множествах вершин и ребер, так и на множестве пар различных несмежных вершин. Такие графы являются дистанционно транзитивными графами диаметра 2.

В настоящее время при исследовании графов вовлекаются симметрии все более общего вида.

В работе рассматриваются неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ъ — вершины графа Г, то через с1(а, Ъ) обозначается расстояние между, а и Ь, а через Г (а) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии г в Г от вершины а.

Подграф Г^а) называется окрестностью вершины, а и обозначается через [а]. Через а1- обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а.

Граф Г называется регулярным, графом степени к, если [а] содержит точно к вершин для любой вершины, а из Г.

Граф Г называется реберно регулярным графом с параметрами (и, к, Х), если Г содержит V вершин, является регулярным степени к, и каждое ребро из Г лежит в Л треугольниках.

Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (?-. к. А, /л), если Г реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [а]П[6] содержит ?1 вершин в случае с?(а, Ь) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом.

Число вершин в [а] П [Ь] обозначим через А (а, 6), если с1(а, Ь) = 1, а соответствующий подграф назовем ~подграфом.

Если 6) = 2, то число вершин в [а] П [6] обозначим через /¿-(а, 6), а соответствующий подграф назовем ц-подграфом.

Если вершины и, т находятся на расстоянии г в Г, то через Ъ^и. ъи) (через С{(и, га)) обозначим число вершин в пересечении Гг+^и).

Г¹(гг)) с Г (ги). Заметим, что в реберно регулярном графе число Ь (и, ш) не зависит от выбора смежных вершин и, ь) и равно 61 = к — Л — 1. Граф Г диаметра с? называется дистанционно регулярным с массивом, пересечений {¿-о, ?1, • - •. Ь (1−1- сх,., с^}, если значения ги) и сг-(/и, ш) не зависят от выбора вершин и, и> на расстоянии г в Г для любого г = 0,., й.

Пусть Т — некоторый класс графов. Граф Г назовем локально Т графом, если [а] лежит в Т для любой вершины, а графа Г. Если при этом класс Т состоит из графов, изоморфных некоторому графу А, то граф Г назовем локально А-графом.

Пусть Г — реберно регулярный граф с параметрами (v, к, А) и Ъ = к—Л—1. Пара вершин u, w называется (почти) хорошей, если d (u, w) = 2 и fi (u, w) равно к — 2bi + 1 (равно к — 2&i + 2). Тройка вершин (u, w, z) называется (почти) хорошей, если w, z е Г2(и) и? i{u, w) + fi (u, z) не больше 2к — 4Ь + 3 (равно 2к — 46i + 4).

Основанием для развития метода хороших пар стало следующее наблюдение. Пусть Г — реберно регулярный граф с параметрами (v, k, Л) и 61 = к — Л — 1. Если вершины и, w находятся на расстоянии 2 в Г, то выполняются следующие утверждения:

1) степень любой вершины в //-подграфе из Г не меньше к — 2i>i;

2) вершина d имеет степень, а в графе [w] П [ги], тогда и только тогда, когда [d] содержит точно, а — (к — 2Ь) вершин вне и1- U w1;

3) если ?{u, w) = к — 26i + 1, то подграф [w] П [гу] является кликой и [d] Сихи w1- для любой вершины d? [и] П [ги];

4) если Г — (г¿-JU w1) содержит единственную вершину z, то fi (u, z) =.

A.A. Махнев [1] получил следующее свойство хороших троек:

Пусть Г — реберно регулярный граф, содержащий хорошую тройку (и, ги, z) и 5 = [и] П [w] П [z]|. Тогда выполняются следующие утверждения:

1) если /j,(u, w) = fi (u, z) = к — 2bi + 1, то 5 — 0 в случае, когда вершины w, z не смежны и 6 < 1 в случае, когда вершины w< z смежны;

2) если /.?(w, w) + fi (u, ги) = 2к — 4Ь + 3, то 8 < 1.

С помощью этих результатов получается новое доказательство класснфикации графов Тервиллигера без 3-лап. Получение аналогичных оценок для почти хороших троек потребовало значительных усилий (см. [2] - [5|). В [6]) была доказана.

Теорема А. Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами (у, к, А), к = З61 + 7 и 7 > —2. Если — почти хорошая тройка и.

Д = [п] П [и>] П [г] непустой граф, то вершины и>, г смежны и выполняется одно из следующих утвероюдепий:

1) |А| < 2 м 7 < — 1/.

2) подграф) А является, 3-кликой, Ьу = 6, к = 16 и V = 31;

3) подграф) Д является 3-кликой, Ь = 3 и Г — граф Клебша;

4) подграф) Д является А-кликой, Ьу — 5 и Г — граф Шлефли.

С помощью теоремы, А были найдены новые верхние границы для числа вершин реберно регулярных графов с к > ЗЬ — 2.

Цель диссертации. Целью данной работы является решение следующих задач:

1. Найти новые верхние границы для числа вершин реберно регулярных графов с к > ЪЬ.

2. Найти возможные порядки и подграфы неподвижных точек сильно регулярного графа с параметрами (64,35,18,20).

3. Найти возможные автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (396,135,30,54) и уточнить результаты в случае, когда граф является точечным для частичной геометрии ^2(5, 26).

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы теории конечных групп, теории характеров, теоретико-графовые методы и методы локального анализа комбинаторно симметричных графов.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следущие.

1. Найдены новые верхние оценки для числа вершин реберно регулярных графов с к > 3&i.

2. Определены возможные порядки элементов группы G автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (64,35,18,20), в частности, установлено, что 7t (G) С {2,3, 5, 7}.

3. Найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа Г с параметрами (396,135,30,54). Результаты существенно уточнены в случае, когда Г — точечный граф частичной геометрии pGo (5,26).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты продолжют изучение реберно регулярных графов и их автоморфизмов. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для изучения графов и конечных геометрий подобного типа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

Международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А. И. Кострикина (Нальчик, 2009 г.), на 40-й и 41-й Региональных молодежных конференциях ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2009;2010 гг.) и на Международной школе-конференции по теории групп, посвященной 75-летию со дня рождения В. А. Белоногова (Нальчик, 2010 г.).

Результаты работы докладывались и обсуждались на алгебраических семинарах ИММ УрО РАН и Кабардино-Балкарского госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [39]—[45]. Работы [39]—[44] выполнены в нераздельном соавторстве с A.A. Мах-невым.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, содержащего 47 наименований. Объем работы — 70 стр.

Во введении обсуждается история вопроса, даются определения и формулируются основные результаты работы. В главе I рассматриваются реберно регулярные графы с к > 3Ъ. Во второй главе выясняются возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (64,35,18,20). В третьей главе работы определяются возможные автоморфизмов сильно регулярного графа Г с параметрами (396,135,30,54). Результаты уточняются в случае, когда Г — точечный граф частичной геометрии ^^2(5, 26).

Содержание диссертации.

Пусть Г — связный реберно регулярный граф с параметрами (г>, к, А), к > Збх. Тогда диаметр Г не больше 2. Основным результатом главы 1 является.

Теорема 1 Пусть Г — связный неполный реберно регулярный граф с 'параметрами (у, к*Х), к = 3&1 + 7, 7 > 0. Тогда выполняются следующие утверждения:

1) если некоторая вершина и образует хорошие пары с двумя вершинами и>, г, то вершины ги, г не смеэюпы и либо (¿-(ш, г) > 3&-г/2 и V — к — 1 < 5Ь[/2, либо ¡-1{ги, г) < ЗЪг/2 и V — к — 1 < ЗЬг — (З7 + 19)/2;

2) если имеется хорошая пара, но нет вершин, леэюащих в двух хороших парах, то V — к — 1 < тт{5б½, 3&1 — 7 — 8};

3) если в Г нет хороших пар, то либо г) в Г нет почти хороших пар ии — к — 1 < 3&1 — 27 — 9 + (272 + 167 + 27)/(?"1 +7 + 3), либо гг) некоторая вершина образует, почти хорошие пары с двумя с. меэ/сными вершинами и Г — граф Клебша или граф Шлефли или 7 = 0 uv — k — 1 < 2bi — 1 + (2&i — 4)/5, либо.

Иг) в Г есть почти хорошая пара, но нет вершин, образующих почти хорошие пары с двумя смежными вершинами uv — k— 1 < 3b — 2/у — 9 + (272 + 157 + 29)/(6i+7 + 3).

Эта теорема уточняет границы для числа вершин, полученные A.A. Мах-невым и Д. В. Падучих [18].

Частичной геометрией pGa (s, t) называется система инцидентности, состоящая из точек и прямых, в которой каждая прямая содержит s + 1 точку, каждая точка лежит на? + 1 прямой (две прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой L, найдется точно, а прямых, проходящих через, а и пересекающих L. Если, а = 1, то геометрия называется обобщенным четырехугольником и обозначается GQ (s, /.). Если, а — ?, то геометрия называется сетью. Точечным, графом частичной геометрии называется граф, вершинами которого являются точки геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на одной прямой. Легко попять, что точечный граф частичной геометрии pGa (s: t) сильно регулярен с параметрами: v — (s + 1)(1 + st/а)} k — s (t + 1), А = (s — 1) + (а — 1)?, ?1 — a (t + 1). Любой сильно регулярный граф с такими параметрами для некоторых а, s, t называется псевдогеометрическим, графом для pGn (s, t.).

В теореме 2 из [7] найдены параметры сильно регулярных графов, в которых окрестности вершин являются псевдогеометрическими графами для pGx (2x, t), где х < 3. В случае х = 2 граф имеет параметры (210,95,40,45), и возможные автоморфизмы такого графа изучались в [8]. В случае х — 3 имеется много возможностей для параметров графа. Но если t = 2, то возможны лишь параметры (64,35,18,20) или (76,35,18,14). Во второй главе диссертации найдены возможные автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (64,35,18,20) и определены подграфы их неподвижных точек. Для автоморфизма д через а^д) обозначим число пар вершин (и, ид) таких, что с1(и, и9) = %.

Теорема 2 Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (64,35.18,20), С? = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из С и О = ?[х (д). Тогда ¦^© ^ {2,3, 5, 7} и верно одно из утверждений:

1) Г2 — пустой граф, р = 2 и а (д) делит, ся на 16;

2) Г2 является п-кликой, р = 7, п = 1, су (д) = 35 или р = 2 и п € {4, 6,8};

3) является 4-кокликой, р = Ъ и (У.(д) — 20;

4) О, является объединением т (га > 2) изолированных клик порядков п >. > пт, р = 2 и либо г) пх = 6- |Г2| < 10 и щ = 2 ¿-ля. г > 1, либо и) п1 = 4, < 8 и щ = 2 для г > 1 или П2 — 4, либо ш) П1 = 2 и |П| < 10;

5) содержит, 2-лапу, р = 3 и либо г) О — четырехугольник или К2 $~подграф), либо п) |П| = 10 и О, содержит такие две несмеоюпые вершины с, с1, что Щс) П Щ — объединение двух изолированных вершин и К^-подграфа, либо (Ш) = 13 и а (д) & {15, 39}- либо (ъу) |П| = 16 «= 0;

6) Г2 содержит 2-лапу, р = 2, и либо е {6, 8,., 28}, либо а (д) ~ 0- |Г2| = 32 и Г —Г2 — граф Тэйлора, в котором окрестности вершин изоморфны точечному графу обобщенного четырехугольника СС2(2,2).

Для подмножества вершин S графа Г через Г (5) обозначим na6s ([a] — S). Граф Г называется t-изорегулярным, если для любого i < I и любого г-вершинпого подмножества S число |Г (5″)| зависит только от изоморфного типа подграфа, индуцированного S. Граф Г на v вершинах называется абсолютно изорегулярным, если если он является (г> — 1)-изорегулярным. Камерон [26, теорема 8.21] доказал, что каждый 5-изорегулярный граф Г является абсолютно изорегулярным, и с точностью до перехода к дополнительному графу, Г является полным многодольным графом Ктхп: пятиугольником, или 3 х З-решеткой. А каждый точно 4-изорегулярный граф является экстремальным графом Смит (с точностью до перехода к дополнительному графу, Г является псевдогеометрическим графом для pGr (2r, 2r3 + Зг2 — 1)). Обозначим такой граф через Izo®. При г — 1 получим точечный граф единственного обобщенного четырехугольника порядка (2,4), а при г — 2 — граф Маклафлина. A.A. Махнев [15] доказал, что Izo® не существует в случае г = 3. Вторая окрестность вершины в графе Izo{3) является сильно регулярным графом с параметрами (640,243,66,108). Вопрос ©-существовании графа с такими параметрами открыт.

Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (640,243,66,108), а — вершина графа Г. Тогда Г имеет собственные значения к = 243, г — 3, s = —45 и достигается равенство во втором условии Крейна: (s + 1)(к + s + 2rs) < (к + s)(r + I)2. Поэтому [а] является сильно регулярным графом с параметрами (243,66,9,21) и Г2(а) — сильно регулярный граф с параметрами (396,135,30,54). Таким образом, для исследования автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (640,243,66,108) необходимо изучить автоморфизмы сильно регулярных графов с параметрами (243,66,9,21) и (396,135,30,54).

В третьей главе диссертации найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (396,135,30,54).

Теорема 3 Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (396,135, 30, 54), д — автоморфизм простого порядка р графа Г, = Р1х (д). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

1) — пустой граф, р? {2,3,11};

2) О, является п-кликой, и л, ибо р = 5, п = 1 и <�у.{д)? {15,165, 315}, либо р = 13, п = 6 и а (д) = 0, либо р = 2, п? 4, 6 и а{д) — 3п — 12 делит, ся на 60;

3) является Ы-кокликой, р = 3, а (д) = Ш + 90 г + 42, г? {0,1,., 3} и? < 14;

4) О — объединение I > 2 изолированных клик порядков щ? {2, 4}, = 2 и 3|Г2| — а{д) -±12 делится на 60;

5) р = 13, либо |Г2| = 32 и ос (д) = 78, л, ибо = 45 и а (д) — 117, либо |П| = 58 и а (д) = 156, либо |П| -71 и аг (д) = 195;

6) р = 11, либо = 66 и а (д) = 0, либо = 77 и ос (д) = 33, либо = 88 и ах (д) = 66, либо |Г2| = 99 и аг (д) = 99;

7) р = 7 и либо г) |Г2| = 116 и «1 (д) = 0, либо.

И) = 81, а (д) — 105 и на Г — имеются 45 семиугольных (д)-орбит, либо ш) |П| б {74,67,60,53,39,32} и а±{д)? {84,63,42,21,189,168} соответственно, либо |П| = 46 и аг (д)? {0, 210};

8) р = 5, = 5 г + 1, 4 < г < 19 и а (д) + 15 г + 15 делится на 150;

9) р = 3, П = 3?, а{д)/18 — (I + 3)/2 делится на 3 г/ 2 <? < 24 шт I е {27,33};

10) р = 2, |П| = 2? > 3, (п.^) — 12 — 6*)/30 четно и либо? < 78- либо ?-88.

Чачтичное пространство прямых 5 порядка (в, ?) — это система инцидентности с множеством точек Р и множеством блоков в которой любые две прямые инцидентны не более одной точке, любая точка инцидентна ровно ^ + 1 прямым, и любая прямая инцидентна ровно в + 1 точкам. При этом каждую прямую можно отождествить с множеством инцидентных ей точек и инцидентность становится обычным включением. Две точки из Р называются коллинеарными, если они лежат на прямой. Точечный граф геометрии 5 — это граф на множестве точек Р, в котором две точки смежны, если они различны и коллинеарны. Аналогично определяется граф прямых.

Сильно регулярный граф с параметрами (396,135,30,54) является псевдогеометрическим для частичной геометрии ?>(^2(5,26). В следующей теореме найдены возможные автоморфизмы частичной геометрии 26), подграфы неподвижных точек которых содержат геодезический 2-путь.

Теорема 4 Пусть Г — точечный граф частичной геометрии рС^б. 26), С — группа автоморфизмов графа Г, д элемент простого порядка р из С. Если О, = Рх (д) содержит геодезический 2-путь, то выполняется одно из следующих утверждений:

1) р — 7, является частичной геометрией рСг (5, 5) и а (д) = 105;

2) р = 5, является частичной геометрией 5,6) и либо <�У1(д) = 0, либо на Г — О, имеются 60 пятиугольных (д)-орбит;

3) р = 3 и П — либо частичная геометрия рС2(6, I Е {2, 5}- либо частичная геометрия 2);

4) р — 2, О, является частичной геометрией рС?2(5, Ь &euro-Е {2,6} шш частичным пространством прямых порядка (4, ?),? четно.

Для изучения возможных порядков и подграфов неподвижных точек автоморфизмов дистанционно регулярных графов Г. Хигмеп предложил оригинальный метод, использующий теорию характеров конечных групп. Этот метод изложен в монографии П. Камерона [25], причем он применялся только к изучению инволютивных автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (3250,57,0,1). Позднее, в работах [9]-[12] изучались автоморфизмы сильно регулярных графов с малыми числами пересечений. В данной работе этот метод применяется для изучения автоморфизмов сильно регулярных графов с параметрами (64, 35,18, 20) и (396,135, 30, 54).

1. Махнев, А.А.О хороших парах в реберно регулярных графах/ A.A. Мах-пев, A.A. Веденев, А. Н. Кузнецов, В. В. Носов // Дискрет. матем.-2003.-Т.15. С.77−97.

2. Махнев A.A. О реберно регулярных графах, не содержащих хороших пар / A.A. Махнев, A.C. Омельченко // Известия Гомельского госун-та.-2008, — Т. 47. С. 117−127.

3. Махнев, A.A. О реберно регулярных графах, в которых каждая вершина, лежит не более чем в одной хорошей паре / A.A. Махнев, Н. В. Чуксина // Владикавказский матем. журнал.- 2008. Т. 10, № 1. С. 53−67.

4. Махнев A.A. О почти хороших тройках вершин в реберно регулярных графах / В. И. Казарина, A.A. Махнев // X Белорусская матем. конф. Тез. докл. Минск.- 2008, — С. 46.

5. Махнев, A.A. О сильно регулярных графах с к = 2/л и их пасширениях / A.A. Махнев // Сиб. матем. журнал, — 2002. Т. 43, № 3. С. 609−619.

6. Махнев, A.A. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (210,95,40,45) / A.A. Махнев, Н. В. Чуксина // VII Международная школа-конференция по теории групп.- Тез. докл.- Челябинск.- 2008. С. 78−79.

7. Махнев, A.A. Об автоморфизмах графа Ашбахера/ A.A. Махнев, Д. В. Падучих // Алгебра и логика.- 2001. Т.40, № 2, — С. 125−134.

8. Махнев, A.A. Об автоморфизмах сильно регулярных графов с Л — 0, ?1 = 2/ A.A. Махнев, В.В. Носов// Мат. сб.- 2004, — Т.185, № 3, — С. 47−68.

9. Махнев, A.A. Об автоморфизмах графов сЛ = 1,/х = 2/ A.A. Махнев, И. М. Минакова // Дискрет, матем, — 2004, — Т.16, № 1, — С. 95−104.

10. Белоусов H.H. О сильно регулярных графах с /л = 1 и их автоморфизмах / H.H. Белоусов, A.A. Махнев // Доклады Академии Наук.- 2006. Т. 410, № 2. С. 151−155.

11. Махнев, A.A. О расширениях частичных геометрий, содержащих малые //-подграфы /A.A. Махнев // Дискр. анализ и исслед. операций.- 1996.-Т.З.- С.71−83.

12. Махнев, A.A. О сильной регулярности некоторых реберно регулярных графов / A.A. Махнев // Известия РАН, сер. матем.- 2004, — Т.68. С .159 172.

13. Махнев A.A. О несуществовании сильно регулярных графов с параметрами (486,165,36,66) / A.A. Махнев // Украинский матем. журнал.- 2002, Т. 54, № 7. С. 941−949.

14. Журтов А. Х. Об автоморфизмах 4-изорегулярных графов / А.Х. Жур-тов, А. А. Махнев, М. С. Нирова //8 Международная школа-конференция, но теории групп. Нальчик 2010. Тез. докл.- С. 94−102.

15. Кондратьев, А. С. Распознавание знакопеременных групп простой степени / А. С. Кондратьев, В. Д. Мазуров // Сиб. ма, тем. ж, — 2000, — Т. 41, № 2, — С.359−369.

16. Падучих Д. В. Новая оценка для число вершин реберно регулярных графов / А. А. Махнев, Д. В. Падучих // Сибирский матем. журнал.- 2007.Т. 48, Ш 4, — С. 817−832.

17. Aschbacher, М. The nonexistence of rank three permutation groups of degree 3250 and subdegree 57 / M. Aschbacher //J. Algebra.- 1971. V. 19, № 3,-P.538−540.

18. Brouwer, A.E. Distance-regular graphs/ A.E. Brouwer, A.M. Cohen, A. Neumaier// Berlin etc: Springer-Verlag.- 1989. 495 c.

19. Brouwer, A.E. Block designs/ A.E. Brouwer, H.A. Willbrink// Handbook of incidence geometry: buildings and foundations/ F. Buekenhout. Elsever Science. Amsterdam.- 1995. P.349−383.

20. Brouwer, A.E. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra/ A.E. Brouwer, W.H. Hacmers// Europ. J. Comb.- 1993. Vol.14. P.397−407.

21. Buekenhout, F. Foundations of incidence geometry / F. Buekenhout// Handbook of incidence geometry: buildings and foundations/ F. Buekenhout. Elsever Science. Amsterdam.- 1995. P.63−107.

22. Buekenhout, F. Finite diagram geometries extending buildings/ F. Buekenhout, P. Pasini// Handbook of incidence geometry: buildings and foundations/ F. Buekenhout.— Elsever Science. Amsterdam.- 1995. P. 11 431 255.

23. Cameron, P. Permutation Groups/ P. Cameron.- London Math. Soc. Student Texts 45.: Cambridge Univ. Press, 1999.

24. Cameron, P. J. Graphs, Codes and Dcsidns. / Cameron P. J., van Lint J. London Math. Soc., Student Texts № 22, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991.

25. Damerell, R.M. On Moore graphs/Damerell R.M.- Math. Proc. Cambr. Phil. Soc.- 1973. Vol.74. P.227−236.

26. Gardiner A. Homogeneous graphs / A. Gardiner // J. Comb. Theory.- 1976.-V. 20, — P. 94−102.

27. Higman, D.G. Finite permutation groups of rank 3/ D.G. Higman// Math. Z.- 1964, — Vol.86. P.145−156.

28. Higman, D.G. Primitive rank 3 groups with a prime subdegree/ D.G. Higman// Math. Z.- 1966, — Vol.91. P.70−86.

29. Higman, D.G. Intersection matricies for finite permutation groups/ D.G. Higman// J. Algebra.- 1967, — Vol.6. P.22−42.

30. Higman, D.G. On finite affine planes of rank 3/ D.G. Higman// Math. Z-1968, — Vol.104. P. 147−149.

31. Higman, D.G. A survey of some questions and resalts about rank 3 permutation groups/ D.G. Higman// Actes, Cjngres Int. Math. Rome.- 1970.-Vol.l P.361−365.

32. Higman, D.G. Characterization of families of rank 3 permutation groups by the subdegrees I, II/ D.G. Higman// Arth. Math.- 1970. Vol.21. P.151−156- 353−361.

33. Higman, D.G. Coherent configurations/ D.G. Higman// Rend. Sem. Mat.Univ. Padova.- 1970. Vol.44. P. 1−26.

34. Macay M. Search for properties of the missing Moore graph / M. Macay, J. Siran // Linear Algebra and its Appl.- 2009. V. 432, — P. 2381−2398.

35. Prager, C.E. Low rank representations and graphs for sporadic groups/ C.E. Prager, L.H. Soicher.- Lecture series 8. Cambridge: University press.-1997.

36. Tits, J. Buildings of Spherical Type and finite BN-pairs/ Л. Tits// Springer Lecture Notes in Mathematics.- Vol.386.Работы автора по теме диссертации.

37. Исакова М. М. О числе вершин в реберно регулярных графах с к > 3Z? i / М. М. Исакова, A.A. Махпев // Труды 40-й Всеросс. молод, копф. Изд-во ИММ УрО РАН: Екатеринбург, — 2009, — С. 16−18.

38. Исакова М. М. О числе вершин в реберно регулярных графах с к > 3&i / М. М. Исакова, A.A. Махнев // Алгебра и ее приложения. Труды межд. конф., посвященной 80-летию со дня рождения А. И. Кострикина. КБГУ: Нальчик.- 2009. С. 57−61.

39. Исакова М. М. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (64,35,18,20), / М. М. Исакова, A.A. Махнев // Тезисы 41-й Всеросс. молод, конф. Изд-во ИММ УрО РАН: Екатеринбург, — 2010. С. 19−22.

40. Исакова М. М. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (396,135,30,54) / М. М. Исакова, A.A. Махнев // Теория групп и ее приложения. Труды межд. конф., посвященной 75-летию со дня рождения В. А. Белоногова. КБГУ: Нальчик.- 2009. С. 57−61.

41. Исакова М. М. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (64,35,18,20) / М. М. Исакова, A.A. Махнев // Труды ИММ УрО РАН.- 2010. Т. 16, № 3. С. 102−110.

42. Исакова М. М. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (396,135,30,54) / М. М. Исакова, A.A. Махнев // Владикавказский матем. журнал, — 2010, — Т. 12, № 3, — С. 32−42.

43. Исакова М. М. Об автоморфизмах частичной геометрии pG2(5, 26) / М. М. Исакова // Сибирские электронные матем. известия, — 2010, — Т. 7 С. 150 154/.