Оценка вероятности события
Отдел технического контроля проверяет на стандартность 1000 деталей. Вероятность, что деталь стандартна, равна 0.9. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных. Суммарная выручка 10 фирм в среднем равна S=11 000. В 80% случаев эта выручка отклоняется от средней не более чем на? S = 500. Найти вероятность того, что очередная месячная выручка… Читать ещё >
Оценка вероятности события (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Задача №1 (1).
Условие:
Вариант 1. P6, P8, A62, A85, C62, C85.
Решение:
P6 = 6! = 6•5•4•3•2•1 = 720 P8 = 8! = 8•7•6•5•4•3•2•1 = 40 320
== 6•5 = 30 == 8•7•6 = 336
= = = 15 = = = 56
Задача №2 (2).
Условие:
В ящике случайным образом находится 10 рубашек, причем 4 из них высшего сорта. Покупатель берет наудачу 3 из них. Найти вероятность того, что из взятых рубашек окажется высшего сорта хотя бы 1 рубашка.
Решение:
Способ 1:
А — событие взятия 1 рубашки высшего сорта
B — событие взятия 2 рубашек высшего сорта
C — событие взятия 3 рубашек высшего сорта
R — событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта
R=A+B+C
P (A) =====
P (B) =====
P© =====
P® = P (A) + P (B) + P© = ++ =
2 способ:
А — событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта
— ни одна из рубашек высшего сорта не взята
P (A) + P () = 1 P (A) = 1 — P ()
P () = = = P (A) = 1 — =
Задача №3 (1).
Условие:
Имеется 3 партии деталей по 30 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой партии — 30, во второй — 20, в третей партии — 15. Из наудачу выбранной партии наудачу извлекают деталь, оказавшуюся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии извлекают деталь, тоже оказавшуюся стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третей партии.
Решение:
А — событие извлечения стандартной детали в каждом из двух испытаний В1 — детали извлекались из первой партии В2 — детали извлекались из второй партии В3 — детали извлекались из третей партии Так как детали извлекались из наудачу взятой партии, то P (B1) = P (B2) = P (B3) =
(А) = 1 — вероятность извлечения стандартных деталей из 1 партии
(А) = • = - вероятность извлечения стандартных деталей из 2 партии
(А) = • = - вероятность извлечения стандартных деталей из 3 партии
PA(B3) = ==•=
Задача №4 (3).
Условие:
Отдел технического контроля проверяет на стандартность 1000 деталей. Вероятность, что деталь стандартна, равна 0.9. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных.
Решение:
P = 0.9 — вероятность того, что деталь стандартна
q = 1-P = 0.1 — вероятность того, что деталь нестандартна Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты стандартных деталей от числа P не превысит положительного числа ?, определяется из удвоенной формулы Лапласа:
= Q
Ф (105?) = =0.475
По таблице значений функции Ф (х) находим, что х = 1.96. Откуда 105? = 1.96, значит? ? 0,0186.
Таким образом, границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных, удовлетворяет равенству:
?0,0186 или 0,8814??0,9186
Отсюда искомое число стандартных деталей среди 1000 проверенных с вероятностью Q = 0.95 заключено в границах
881?m?917
Задача №5 (4).
Условие:
Экономист считает, что вероятность роста стоимости акций компании в следующем году составит 0.8, если экономика страны будет на подъёме, и 0.25, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна 0.55. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.
Решение:
А — событие, что акции компании поднимутся в следующем году Н1 — событие, что экономика страны будет на подъёме
H2 — событие, что экономика страны не будет успешно развиваться События Н1 и Н2 образуют полную группу событий. Так как:
P (H1) = 0.55 — вероятность того, что экономика страны будет на подъёме
P (H2) = 0.45 — вероятность того, что экономика страны не будет успешно развиваться
= 0.8 — вероятность роста акций при подъёме экономики страны
= 0.25 — вероятность роста акций при неуспешном развитии экономики страны По формуле полной вероятности получим:
P (A) = •P (H1) + •P (H2) = 0.8•0.55+0.25•0.45 = 0.44+0.1125 = 0,5525
Задача №6 (5).
Условие:
Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течении обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0.88, от второй — с вероятностью 0.85. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0.16, для второй — 0.018. В случае банкротства инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность получить прибыль?
вероятность значение степень оценка
Решение:
А — событие получения инвестором прибыли В1 — событие банкротства первой фирмы В2 — событие банкротства второй фирмы С1 = В1• - событие банкротства только первой фирмы С2 = •В2 — событие банкротства только второй фирмы С3 = В1•В2 — событие банкротства обеих фирм С4 = • - событие работы обеих фирм Р (В1) = 0.16 — вероятность банкротства первой фирмы Р (В2) = 0.018 — вероятность банкротства второй фирмы РС1(А) = 0.85 — вероятность получения прибыли при банкротстве только первой фирмы РС2(А) = 0.88 — вероятность получения прибыли при банкротстве только второй фирмы РС3(А) = 0 — вероятность получения прибыли при банкротстве обеих фирм РС4(А) = 1 — вероятность получения прибыли при работе обеих фирм Р (С1) = 0.16•0.982 = 0.1571 — вероятность банкротства первой фирмы Р (С2) = 0.84•0.018 = 0.0151 — вероятность банкротства второй фирмы Р (С3) = 0.16•0.018 = 0.0029 — вероятность банкротства обеих фирм Р (С4) = 0.84•0.982 = 0.8223 — вероятность работы двух фирм Тогда по формуле полной вероятности получим:
P (A) = PC1(A)•P (C1)+ PC2(A)•P (C2)+ PC3(A)•P (C3)+ PC4(A)•P (C4) =
= 0.85•0.1571+0.88•0.0151+0•0.0029+1•0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691
Задача №7 (1).
Условие:
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0.04. Какова вероятность того, что среди купленных 15 билетов окажется 3 выигрышных?
Решение:
Требуется найти вероятность n=3 успехов из N=15 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=0.04. По формуле Бернулли эта вероятность равна:
P15(3) = =•0.043•0.9612=455•0.64•0.613=0.018
Задача №8 (6).
Условие:
Вероятность банкротства одной из 9 фирм к концу года равна 0.24. Какова вероятность того, что к концу года обанкротится не более 3 фирм?
Решение:
Будем считать событием банкротство одной фирмы. Тогда n — число событий из 9 испытаний. Требуется найти вероятность Р (n<3). Используя формулу Бернулли, получим:
Р (n<3) = p (n=0 или n=1 или n=2 или n=3) = P9(0)+P9(1)+P9(2)+P9(3) =
= +++ =
= •1•0.0846+•0.24•0.1113+•0.0576•0.1465+•0.138•0.1 927 =
= 0.0846+0.2404+0.2363+0.2234 = 0.7847
Задача №9 (1).
Условие:
Текущая цена ценной бумаги представляет собой нормально распределенную величину Х со средним =55 и дисперсией DX=4. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от Х1=53 до Х2=57 ден. единиц.
Решение:
Так как М (Х)? =55,? = = 2, то
P (53
Задача №10 (7).
Условие:
Суммарная выручка 10 фирм в среднем равна S=11 000. В 80% случаев эта выручка отклоняется от средней не более чем на? S = 500. Найти вероятность того, что очередная месячная выручка находится в интервале между 1000 и 10 000.
Решение:
По условию задачи =P (10 500
= - =2=0.8, =0.4
то по таблице значений функции Ф (х) находим =1.28,? = =390,625
P (1000