В последнее время: возродился: интерес многих, исследователе! кг одной: из самых старых областей алгебры — теории конечных колец. !Шк в 1974 году Макдональдом была выпущена монография: [22], посвященная конечным кольцам с единицей. В большой серии работ (см., например, [6 ] - [в], [17], [21 ]) изучаются, многообразия конечных колец к критические кольца этих многообразий. При этом отыскание критических объектов базируется как правило на сведениях о строении соответствующих колец и, таким образом, эти исследования стимулируют, развитие структурной теории конечных колец.
Эта теория в свою очередь подразделяется на два направления. Задачей первого из них является описание всех конечных колец (или каких-то достаточно богатых подклассов) в качестве подобъектов или гомоморфных образов некоторых полностью изученных колец" Такой тематике была посвящена работа. Селе [24^], в которой доказана теорема о вложении любого конечного кольца с единицей в специальным способом, сконструированное кольцо матриц, названных впоследствии матрицами Селе" Позднее это вложение было уточнено в: серии работ Уилсона. [25] - [27 ]. К тому же направлению относятся. некоторые теоремы книги [22 ], в которых конечные кольца с единицей описываются как. гомоморфные образы колец многочленов над кольцами Талу, а ^.
Задачей, второго направления структурной теории является полное описание объектов, принадлежащих исследуемому классу. Здесь можно отметить работы А" А. Нечаева [э], [ю], посвященные конечным кольцам главных идеалов, статью В. Г. Антипкина и.
В.ГГ. Елизарова [2], где перечислены все кольца порядка р2 для: простого числауО, а также результаты В. А. Ратинова (см. [14 ] - [ш]), из которых вытекает описание некоторых классов конечных колец.
В данной работеконечные кольца с единицей представляются эндоморфизмами модулейнад кольцом Галуа, а затем на основании этого представления: изучается: строение конечных колец. Следующие результаты диссертацииявляются основными:
1). Доказано, что любое конечное кольцо с единицей, является собственным фактором (т.е. шакторкольцом подкольца) кольца обобщенно-треугольных матриц, на диагонали которого стоят кольца, матриц над кольцами Галуа [ю]. Найдены конечные кольца, для которых любое такое представление тривиально.
2). Доказывается, теорема о вложении конечного кольца с единицей в. прямую сумму колец, каждое из которых является кольцом нижнеблочнотреугольных матриц: Селе [24] над кольцом Галуа. Этот результат обобщает основную теорему Уилсона [27] .
3). Вводится понятие сложности конечных модулей, и колец. Исследуются свойства сложности модулей при замене колец. Описываются кольца сложности два.
Приступим к более подробному изложению результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав.
