Асимптотические разложения собственных элементов оператора Лапласа с частой сменой типа граничных условий

Краевые задачи с различного рода сингулярными возмущениямиобъект исследований многих ученых. Подобный интерес объясняется тем, что, с одной стороны, сингулярно возмущенные краевые задачи часто возникают как математические модели в различных приложениях, а с другой стороны — наличием у этих задач большого числа разнообразных свойств, интересных с математической точки зрения. Примерами такого рода задач могут служить краевые задачи для уравнений с малым параметром при старшей производной, с быстро осциллирующими коэффициентами, задачи в области с вырезанным множеством малой меры, задачи со сменой граничного условия на малом участке границе, задачи с частой сменой граничных условий, с концентрированными массами, задачи в областях с быстро осциллирующей границей, в перфорированных областях, в областях с тонкими отростками и многие другие (см., например, монографии [1, 2, 13, 28, 34, 37, 39, 41, 44, 46, 53, 54, 62], статьи [21, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 36, 40, 42, 43, 49, 50, 77, 78, 84] и многие другие работы).

Диссертация посвящена изучению сингулярно возмущенных краевых задач с частой сменой типа граничных условий. Вначале опишем в общих чертах такого рода краевые условия. На границе области, в которой рассматривается уравнение, выделяется подмножество. Основным свойством этого подмножества является то, что оно состоит из большого числа непересекающихся частей малой меры. Как правило, это подмножество зависит от одного или нескольких характерных малых параметров, при стремлении которых к нулю расстояние между отдельными компонентами этого подмножества и мера каждой отдельной компоненты стремятся к нулю (см. рис. 1). На этом подмножестве задается граничное условие одного типа (например, условие Дирихле), в то время как на оставшейся части границы задается граничное условий другого типа (например, условие Неймана). Цель исследований — описать поведение решений, когда характерные малые параметры стремятся к нулю. Рассматриваются также задачи, в которых описанная смена краевых условий задается не на всей границе, а лишь на фиксированной ее части, в то время как на остальной части границы ставится одно из классических краевых условий.

Одной из самых простых физических моделей, описываемой краевой задачей с частой сменой граничных условий, является задача о мембране, разными краевыми условиями. В [67, 69] рассматривалось уравнение Лапласа в ограниченной области с частой сменой граничных условий Дирихле и Неймана. Рассматривалось чередование граничных условий, имеющее непериодическую структуру, но дополнительно предполагалось, что части границы с разными граничными условиями имеют одинаковый порядок малости. В работах [3, 56, 57, 65, 68, 74, 79, 80] для линейных эллиптических задач с чередованием первого краевого условия со вторым либо третьим краевым условием были получены усредненные задачи и приведены достаточно простые условия, определяющие зависимость типа усредненной задачи от структуры чередования. Случай, когда подмножество границы с граничным условием Дирихле имеет периодическую структуру, исследовался в [57, 65, 68, 79, 80]. Сходимость в непериодическом случае изучалась в [4, 56, 74]. Отметим, что ограничения на структуру чередования граничных условий, гарантирующие часто закрепленной на малых участках гра-Ге ницы.

Вопросы усреднения эллиптических кра.

Рисунок 1. евых задач с частой сменой граничных условий исследовались достаточно широко (см., например, [3, 4, 56, 57, 61, 65, 67, 68, 69, 70, 74, 79, 80[). Основной целью этих работ было определение вида предельных (усредненных) задач при минимальном наборе требований к структуре чередования граничных условий, то есть, к поведению множеств с вывод усредненных задач, в работах [3, 56, 65, 68, 74, 79, 80] были сформулированы в терминах расстояний между отдельными частями границы с условием Дирихле, а также в терминах мер этих частей. В [57] ограничения на структуру чередования давалось в терминах минимального собственного значения некоторой модельной краевой задачи на «ячейке периодичности». При некоторых дополнительных предположениях это условие было переписано в терминах расстояний и мер. В [3] была рассмотрена краевая задача для уравнения Лапласа с частым чередованием граничных условий Дирихле и Неймана весьма общей непериодической структуры. Также было исследовано чередование, описываемое на основе вероятностного подхода. Были получены достаточно общие условия, гарантирующие сходимость решения рассматриваемой задачи. Краевые задачи для нелинейных эллиптических уравнений с частой сменой типа граничных условий рассматривались в [61, 70]. В [61] численно решалась задача, являющаяся моделью химической задачи о тепловом взрыве газа в результате экзотермической реакции в длинном цилиндрическом сосуде. Смена граничных условий возникала вследствие того, что теплоизолированные части стенок сосуда часто и периодически чередовались с идеально проводящими участками. Результаты, полученные численно в [61], в целом хорошо согласуются с результатами цитированных выше работ [3, 56, 65, 68, 74, 79, 80]. Численные результаты [61] позднее были теоретически подтверждены в [70], где рассматривалось усреднение некоторого класса нелинейных уравнений, в который уравнение из [61] входило как частный случай. В [70] вопрос о сходимости решений нелинейной задачи фактически был сведен к аналогичному вопросу для некоторой линейной задачи. Сходимость же последней может быть установлена на основе результатов [3, 56, 65, 68, 74, 79, 80].

Основные результаты, полученные при изучении сходимости задач с частой сменой типа граничного условия (как периодической, так и непериодической), кратко можно сформулировать следующим образом. Краевые эллиптические задачи с частой сменой типа граничного условия при достаточно общих предположениях сходятся к задачам с классическими граничными условиями. Тип граничного условия в усредненной задаче зависит от соотношения мер частей границы с разными типами краевых условий в исходной возмущенной задаче.

Помимо определения вида усредненных задач для задач с частой сменой граничных условий, важен и актуален также вопрос об оценках скорости сходимости решений возмущенных задач к решениям усредненных. Для эллиптических задач с периодической сменой краевых условий такого рода оценки были получены в работах [3, 19, 57]. Оценки для непериодического чередования были установлены в [25, 47, 48, 66, 83].

В последние годы появились работы, в которых строились асимптотические разложения решений эллиптических краевых задач с периодической структурой чередования граничных условий [6, 17, 18, 20, 22, 58, 59, 75]. Отметим, что факт периодичности при получении асимптотик использовался по существу. В [58, 59] была рассмотрена краевая задача для уравнения Пуассона в многомерном слое, ограниченном двумя гиперплоскостями. Периодическое чередование граничных условий Дирихле и Неймана задавалось на одной из гиперплоскостей, причем части границы с краевым условием Дирихле стягивались к точкам. Также дополнительно предполагалось, что меры частей границы с разными типами граничных условий имеют одинаковый порядок малости. Для решения рассматриваемой задачи было получено полное асимптотическое разложение. В работах [6, 17, 18, 20, 22, 75] изучалась краевая задача на собственные значения оператора Лапласа в ограниченной двумерной области с периодическим и локально периодическим чередованием граничных условий. В [75] для единичного круга со строго периодической сменой граничных условий были формально построены первые члены асимптотических разложений минимального собственного значения в случае усредненных первой, второй и третьей краевых задач. В [17] для случая круга со строго периодическим чередованием и усредненной задачи Дирихле были получены полные асимптотические разложения собственных значений в дополнительном предположении, что части границы с разными граничными условиями имеют одинаковый порядок малости. В отсутствии этого предположения в [17] для произвольной области и чередования, сводимого к строго периодическому конформной заменой переменных, были получены первые члены асимптотических разложений собственных значений, сходящихся к простым собственным значениям задачи Дирихле. В работе [20] вновь были рассмотрены случай круга со строго периодической сменой краевых условий и случай произвольной области с чередованием, сводимым к строго периодическому конформной заменой переменных, но уже в предположении усредненной задачи Неймана. Отношение длин частей границы с условием Дирихле и Неймана задавалось явной модельной функцией. Для круга были построены полные асимптотические разложения собственных значений, для произвольной областипервые члены асимптотик собственных значений, сходящихся к простым предельным собственным значениям. Также было доказано, что в случае круга собственные значения возмущенной задачи, сходящиеся к предельным двукратным собственным значениям, сами имеют кратность два. В работах [6, 18, 22] для произвольной области с чередованием граничных условий, сводимого к периодическому некоторой гладкой заменой переменных, были построены первые члены асимптотических разложений собственных значений, сходящихся к простым предельным собственным значениям. Были рассмотрены случаи усредненных первой [18], второй [18] и третьей краевых задач [6, 22].

В работах [71, 72, 73] были рассмотрены краевые задачи для параболического уравнения с частым чередованием первого и третьего краевых условий. Чередование задавалось по пространственным переменным. Дополнительно предполагалось, что меры частей границы с разными граничными условиями имеют одинаковый порядок малости, что при усреднении приводило к граничному условию Дирихле. В [71], [72] - для периодической, а в [73] - для почти периодической смены граничных условий в различных нормах были оценены скорости сходимости и построены первые члены асимптотических разложений решений рассматриваемых задач.

К задачам с частой сменой типа граничных условий близки задачи в областях с мелкозернистой границей. Постановка таких задач в общих чертах выглядит следующим образом. Уравнение рассматривается в неограниченной области. Краевое условие ставится на границе множества, состоящего из большого количества непересекающихся малых областей, расположенных близко друг к другу. Изучается поведение решения, когда число областей неограниченно возрастает, а расстояния между ними и их размеры стремятся к нулю. Вопросы усреднения таких задач изучались достаточно подробно (см., например, [41, 54, 55]). Асимптотические разложения решений таких задач с периодической структурой граничных условий были построены в [23, 24, 76].

Достаточно близки к задачам с частой сменой граничных условий задачи с большим количеством концентрированных масс. Здесь обычно рассматриваются уравнения на собственные значения, где при спектральном параметре стоит весовая функция. Граничные условия задаются часто чередующимися. Упомянутая весовая функция зависит от характерных малого (малых) параметра (параметров) и равномерно по ним ограничена всюду в области за исключением малых окрестностей, расположенных вдоль границы близко друг к другу. В этих окрестностях весовая функция имеет порядок обратной степени малого параметра — линейного размера окрестности. Усреднению такого рода задач посвящено достаточно много работ (см., например, [26, 51, 81, 82, 85]). Работам по усреднению задач со многими массами предшествовали исследования задач с одной концентрированной массой (см. [46] и содержащийся в монографии обзор литературы).

В диссертации рассматриваются двухи трехмерные краевые задачи на собственные значения оператора Лапласа с частым чередованием типа граничных условий. Изучается чередование, имеющее как периодическую, так и непериодическую структуру. Основной целью является получение асимптотических разложений собственных элементов рассматриваемых задач. Асимптотические разложения выводятся по следующей схеме. Вначале строятся формальные асимптотические решения. При этом используются методы асимптотического анализа: метод согласования асимптотических разложений [34], метод составных разложений [15] и метод многих масштабов [5]. Этот этап также включает в себя анализ коэффициентов формально построенных асимптотических рядов. Формальное построение завершается доказательством того, что построенные асимптотические ряды являются формальным асимптотическим решением. Это означает, что частичные суммы данных рядов удовлетворяют исходной возмущенной задачи с точностью до невязок малого порядка. Причем порядок малости должен увеличиваться при увеличении числа членов в частичных суммах. На следующем этапе формально построенные асимптотики строго обосновываются. Под обоснованием асимптотик понимается получение оценки для разности между истинными собственными элементами и формально построенными асимптотическими рядами. Подобное обоснование необходимо, так как формальное построение само по себе не может гарантировать, что полученные формальные асимптотические разложения действительно асимптотики истинных собственных элементов.

Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.

Первая глава посвящена изучению двумерной краевой задачи с периодическим и локально периодическим чередованием граничных условий. Постановка задачи следующая. Пусть х = (х, xq) — декартовы координаты, со — произвольная ограниченная односвязная область в Ж2 с гладкой границей, s — натуральный параметр кривой дш, a S — длина этой кривой, s? [0,5). Точки границы дш будем описывать с помощью натурального параметра, фиксировав направление обхода (против часовой стрелки) и произвольно выбрав точку на дш, которой соответствует значение s — 0. Для удобства изложения точкам границы, которым соответствуют s, близкие к 5 или к нулю, сопоставим дополнительно значения (s — 5) и (5 + s). Обозначим: N 1 — натуральное число, е — 2N" 1 — малый положительный параметр. Для каждого значения N на границе дсо зададим подмножество j?, состоящее из N открытых непересекающихся связных частей границы (см. рис. 1). Опишем множество j? более подробно. Для каждого значения N задаются точки Xj е дсо, j = 0, N — 1, соответствующие значениям натурального параметра szЕ [0,5), причем расстояние между любыми двумя соседними точками, измеренное вдоль границы дш есть величина порядка е. Далее, пусть заданы два набора из N функций каждый: оДе) и bj (e), j = 0,., N — 1, где функции aj и bjнеотрицательны и ограничены. Множество 7е определяется следующим образом:

Без ограничения общности будем считать, что j? j не пересекаются.

Рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача на собственные значения: где v — внешняя нормаль к границе ди, Г£ = дшу?. Целью является построение асимптотических разложений собственных элементов этой задачи при е —>• 0 (или, эквивалентно, N —" оо).

Положим а/у (е) = ао (£)> — s% = soНа множество j? наложим следующее условие.

С1). Существует функция 6>(s): [0,5] [0,2тг], в (0) = 0, 6(S) = 2тг,.

N-1.

Ъ = U 7ej, Те J = {х: -eaj (?) < s — s) < sb3{e)}. j=0.

Аф£ = Хеф£, хеш,.

0.1) (0.2) такая что для всех j — 0,., N — 1,.

9(s?j — eaj{e)) = 0(se0) + £7г j — га (г) 9{s) + ea. j (e)) = 0(4) + ?irj + e6(e).

0.3) в' Е C°°(duj), 0 < ci < 6'(s) < C2, где c, c2 — некоторые константы, не зависящие от s, a (s) и b (e) — ограниченные неотрицательные функции.

Условие (С1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Оно означает, что границу дои можно гладко отобразить на окружность единичного радиуса так, что при этом отображении множество уЕ перейдет в строго периодическое множество (см. (0.3)). Чередование граничных условий, имеющее подобную структуру, будем называть локально периодическим.

Первая глава посвящена исследованию локально периодического чередования граничных условий в случае, когда усреднение в задаче (0.1), (0.2) приводит к краевому условию Дирихле. Согласно [56, 57, 74], собственные значения задачи (0.1), (0.2) сходятся к собственным значениям задачи Дирихле с сохранением совокупной кратности при выполнении равенства lim? rln?7(e:) = 0, (0.4) где 77(e) = a (?)+b (g) Одним из основных результатов первой главы является следующая.

Теорема 0.1. Пусть выполнены условие (С1) и равенство (0.4)-Тогда для каждого простого собственного значения задачи.

— Афо — Хофо, = х Е дси. (0.5) существует единственное собственное значение? задачи (0.1), (0.2), сходящееся к Aq при е —> 0. Собственное значение Х£ простое и имеет двупарамстрическую асимптотику.

00 3=1 где j (r}) непрерывны по r Е (0,7г/2], j{jr/2) = 0, j > 1,.

-^1(77) = К In sin 77, = (0.7) ди).

Л2(г/) = К2 In2 sin 77, К2.

0.8).

Aj (77) = К, — lnJ 77 + 0(| In 77]^), 77 О,.

0.9) фо — нормирована в Ь2(и), фц — ортогональное фо в Ь2(ш) решение краевой задачи.

Kj, j > 3 — некоторые константы. Асимптотика соответствующей собственной функции ф£ в норме Н1{и)) имеет вид (I.48).

Замечание 0.1. Отметим, что условие (0.4), непрерывность Xj (f]) и формулы (0.9) обеспечивают асимптотичность ряда (0.6), несмотря на наличие сингулярностей у Aj (rj) при Т] —>¦ 0. Отметим также, что существует достаточно широкий класс функций г}(е), стремящихся к нулю при е —> 0 и удовлетворяющих одновременно условию (0.4) (например, Г} = еа, а > 0, 77 = е~1/?а, 0 < а < 1, и др.).

Замечание 0.2. Отметим, что условие непересечения множеств ry? j и неотрицательность функций а (е) и b (s) влекут неравенство: 0 < г) < -к/2. При г] — тс/2 множество совпадает со всей границей дш, а, в силу теоремы 0.1, все члены асимптотики 0.6 обращаются в нуль.

При отсутствии кратных собственных значений у задачи (0.5) теоремой 0.1 исчерпываются все собственные значения задачи (0.1), (0.2). Более того, наличие кратных собственных значений у задачи (0.5) для произвольной области — ситуация довольно экзотическая. Поэтому случай кратного предельного собственного значения будет изучен на примере единичного круга с центром в нуле со строго периодическим чередованием граничных условий. Хорошо известно, что на единичном круге задача (0.5) имеет двукратные собственные значения, которыми являются квадраты нулей функций Бесселя Jn целого порядка п > 0- соответствующие собственные функции имеют вид ф$(х) = Jn (л/Аог) Y±(n6),.

T+(t) = cos (t), T (t) — sin (f). Здесь (г, в) — полярные координаты, соответствующие х.

Теорема 0.2. Пуст, ь выполнены условие (С1) и равенство (0−4), иединичный круг с центром в нуле, 9{s) = s. Тогда для каждого двукратного собственного значения Aq задачи (0.5) существует единственное собственное значение Х£ задачи (0.1), (0.2), сходящееся к Ад при е: —^ 0. Собственное значение Ае двукратное и имеет асимптотику (0.6), где А^)еС (0,7г/2], ЛДтг/2) = 0- j >1,.

Ai (r/) = 2Ао In sin 77, А2(т?) = 2А0 In2 sin г?, (0.11).

А—(т]) = Kj lnJ 7] + 0(| Inту ^ 0, (0.12).

Kj — некоторые константы. Асимптотики соответствующих собственных функций в норме Н1(ш) имеют вид (1.58).

Отметим, что асимптотики из теорем 0.1, 0.2 для случая единичного круга и 77 = const были получены в работе [17]. В случае переменного 77 и произвольной области в [18] был формально получен первый член (0.7). Обоснование этого первого члена было проведено в [17] для частного случая, когда чередование граничных условий может быть сведено к строго периодическому конформной заменой переменных. Вопрос о полных асимптотиках в случае переменного г] остался открытым. Решение этого вопроса существенно более сложное, чем при Т] — const, так как необходимо выяснить характер зависимости коэффициентов от параметра 77, что представляет собой совершенно самостоятельную и нетривиальную задачу. Решение этой задачи и, в частности, доказательство формул (0.9), (0.12) составляет самую сложную и ключевую часть первой главы. Подчеркнем также, что получить для A j при j > 3 явные формулы типа (0.7), (0.8) не удается.

Сформулированные теоремы 0.1, 0.2 составляют основные результаты первой главы. Доказательство этих теорем состоит из нескольких этаповопишем их более подробно. В первом параграфе первой главы формально строятся асимптотические разложения для собственного значения Ае и соответствующей собственной функции ф£ в условиях теоремы 0.1. Данное построение проводится на основе комбинации метода составных разложений и метода многих масштабов. Данные методы применяются для формального построения асимптотики собственной функции. Пограничный слой, который строится на основе метода составных разложений, позволяет учесть микроструктуру граничных условий (0.2). В результате формального построения для функций пограничного слоя выводится рекуррентная система краевых задач, зависящих от параметра ц. Эта зависимость носит сингулярный характер при ?] —> 0, что требует дополнительного нетривиального исследования этих задач. Такое исследования проводится во втором параграфе, где изучается зависимость от параметра rj решения модельной задачи. Упомянутые краевые задачи для функций пограничного слоя являются частными случаями данной модельной задачи. В третьем параграфе на основе результатов второго параграфа выясняется зависимость функций пограничного слоя от параметра г) и устанавливается характер сингулярностей этих функций при г) —>¦ 0. Также доказывается, что формальные асимптотики, построенные в первом параграфе, являются формальным асимптотическим решением исходной задачи. Обоснование формально построенных асимптотик в четвертом параграфе, что завершает доказательство теоремы 0.1. Пятый параграф посвящен доказательству теоремы 0.2. Оно проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 0.1: формальное построение асимптотик, исследование характера зависимости пограничного слоя от параметра 77, обоснование асимптотик.

Результаты первой главы были опубликованы в [7, 8].

Случай усредненных второй и третьей краевых задач для задачи (0.1), (0.2) с локально периодическим чередованием также поддается изучению. Методика здесь в целом не отличается от методики работ [20, 64]. Результаты работы [20] были описаны выше. В [64] изучался случай усредненной третьей краевой задачи для круга и были построены полные двупа-раметрические асимптотические разложения собственных элементов. В диссертации, однако, подробно будет изучена более сложная задача о построении асимптотических разложений в случае принципиально непериодического чередования. Решению этого вопроса посвящена вторая глава. Основной целью является выяснение максимально слабых ограничений на множество 7?, оставляющих возможность построить первые члены асимптотических разложений собственных элементов задачи (0.1), (0.2). Сформулируем эти ограничения в виде следующего условия.

С2). Существуют функция 9?(s): [0,5] —>• [0, 2ir и положительная ограниченная функция т}(е) такие, что для j = 0,.. ., N — 1 + zitj, с3г}(е) < а,(е) + Ь,-(е) < (0−13).

0е (О) = 0, 9e (S) = 2тг, в’е е С°°(<9ш), 0 < С1 < ^(s) < с2, где сь с2, с3 — некоторые положительные константы, сi, С2 не зависят от? и s, С3 не зависит от e, rj и j. Выполнено равенство lim (e In 77(e))" 1 = -А (0.14) с, А = const > 0. Если, А > 0, то при г —у 0 функция 0?(s) сходится в С1 [0,5] к некоторой функции <9q (s), в'0? С (Х>{дш). Норма ||6>'||сз (аи-) ограничена равномерно по е.

Соотношения (0.13) более слабые по сравнению с равенствами (0.3). Геометрически равенства из (0.13) означают, что с помощью функции 0? точки {xej} можно отобразить в периодическое множество точек, лежащее на единичной окружности. Более того, точку Xj можно выбрать произвольно на множестве переопределив соответственно функции a, j и bj. Поэтому равенства из (0.13) являются (достаточно слабым) ограничением на распределение множеств 7ej на границе дио. Неравенства из (0.13) означают, что длины множествy? j должны иметь одинаковый порядок малости при е —у 0. Этот порядок малости описывается функцией г] (в теоремах 0.1, 0.2 ввиду локальной периодичности чередования функция г] описывала точные длины множеств %j) — Таким образом, условию.

С2) подчиняется достаточно широкий класс множеств j?} описывающих принципиально непериодическое чередование. Равенство (0.14) и сходимость функции 9е при, А > 0 призваны обеспечить усредненное второе либо третье краевое условие. А именно, согласно [56, 57, 74], при выполнении условия (С2) собственные значения задачи (0.1), (0.2) сходятся к сохранением совокупной кратности к собственным значениям задачи где при, А = 0 полагаем 9q (s) = s.

Для того, чтобы сформулировать основные результаты второй главы диссертации, нам понадобятся следующие вспомогательные обозначения.

Функцию 9? продолжим на значения s € [—S, 2S) по правилу 9e (s) — 9?(s — kS) + 2ттк, s G [kS, (к + 1) S), к = -1, 0,1. Обозначим:

Пусть x (t) ~ бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная едииице при t < ¼ и нулю при t > ¾ и принимающая значения из отрезка [0,1]. Введем еще одну функцию f?(9) следующим образом:

Следующее утверждение носит вспомогательный характер и необходимо для формулировки основных результатов второй главы. Его доказательство проводится в первом параграфе второй главы.

Лемма 0.1. Пусть, А > 0, функция 9'e (s) (Е С°°(дш) равномерно по г ограничена в норме С (дш) и для, А > 0 имеет место сходимость II~^ollс (дш) 0. Тогда для каждого простого собственного значения Ао задачи (0.15) существует единственное и простое собственное значение задачи.

6у{г) dJ+1{s) dj{?): V (e) = ^'+1(?) — dj (e).

Ц9) = d^e) — * ((6> - О^Метг)) &-(е) при 0 <9- 9М).

ДФ0 = А0Ф0, х? и.

0.16) + (Л +Ф0 = О, х G дш, (0.17) сходящееся к Ло при (e,/i) —" 0. Для соответствующим нормированных в L2{uj) собственных функций имеет место сильная в Н1{ш) сходимость Фо ФоСобственное значение Ло (дг, е) и соответствующая собственная функция Фо (х, /i, е) голоморфны по ц (последняя — в норме.

Нш)).

Основными результатами второй главы диссертации являются следующие утверждения.

Теорема 0.3. Пусть выполнены условия, (С2) и равенство.

Ц£) ее тах|^(е)| = о (е1'2{А + д)" 1), (0.18) j где ц — fi (e) = — (е In 77(e)) 1 — А. Тогда для каждого собственного значения Ло задачи (0.15) существует единственное сходящееся к нему собственное значение Е задачи (0.1), (0.2). Это собственное значение простое и 'имеет следующую двупараметрическую асимптотику:

Хе = Л0(/i, е) + eAi (//, е) + о{е{А + /1)), (0.19).

Ai (^e) = (Л + д)2 J ^0(x^, s))2lnf?{e?(s))e'e{s)ds, (0.20) ди) где Ло и Фо удовлетворяютутверждению леммы 0.1. Функция, А неположительна и голоморфна по fi. Асимптотика соответствующей собственной функции ф£ в норме Н1(ш) имеет вид (2.58).

Замечание 0.3. Обратим внимание на равенство (0.18). Величины Sj характеризуют разность длин двух соседних множеств j?, j+i и 7ej> поэтому равенство (0.18) фактически означает, что длины двух соседних составляющих г)£ не очень сильно отличаются друг от друга.

Замечание 0.4. Отметим, что произвол в выборе срезающей функции х не оказывает существенного влияния на вид члена sAi в асимптотике (0.19).

Выбор функции х влияет на значения функции f?(9) только при етт/4 < 9 — 9< Зетг/4, где в силу (0.18) выполнено fe{9) = о (е½{А + fi)'1). Поэтому произвол в выборе х способен изменить слагаемое eAi лишь на величину о{е^/2{А + /i), что не превышает остатка в асимптотике.

В следующей теореме приведены асимптотики собственных значений возмущенной задачи в случае нарушения равенства (0.18) и сохранения остальных условий теоремы 0.3.

Теорема 0.4. Пусть выполнено условие (С2). Тогда для каждого собственного значения Ао задачи (0.15) существует, единственное сходящееся к нему собственное значение Ае задачи (0.1), (0.2). Собственное значение Хе простое и имеет следующую двупараметрическую асимптотику:

Ае = А0 + fi J (ipo (x))20'?(s)ds + О (/i2 + + A (a? + e½)), (0.21) du> где a? = — б^Цс^. Асимптотика соответствующей собственной функции ipe в норме Н1{ш) имеет вид (2.59).

Асимптотика (0.21) конструктивна при, А = 0, а в случае, А > 0 — при.

7? + е½ = о (д).

Замечание 0.5. Случай кратного предельного собственного значения в условиях теорем 0.3, 0.4 рассматривается аналогично (см. [12]).

Теоремы 0.3, 0.4 являются обобщениями аналогичных результатов работ [18, 22].

Доказательство теорем 0.3, 0.4 проводится следующим образом. В первом параграфе второй главы демонстрируются основные идеи формального построения асимптотических разложениях в условиях теорем 0.3, 0.4, позволяющие учесть непериодическую структуру чередования. В построении помимо метода составных разложений и метода многих масштабов используется и метод согласования асимптотических разложений. На основе последнего строится внутреннее разложение, которое вместе и пограничным слоем позволяет удовлетворить требуемым граничным условиям. Используемая здесь схема построения является нетривиальным обобщением схемы из [18, 22], использованной для изучения локально периодической смены граничных условий.

Первые члены асимптотик, формально построенные в первом параграфе, после подстановки в исходную задачу, не дают невязок нужного порядка малости. Чтобы добиться невязок нужного порядка малости, приходиться строить дополнительные вспомогательные члены асимптотических разложений. Это построение проводится во втором параграфе, результатом которого является построение формального асимптотического решения и оценка невязок в терминах /i и 5*. В третьем параграфе проводится обоснование асимптотических разложений, что завершает доказательство теорем 0.3, 0.4.

Результаты второй главы были опубликованы в [6, 9, 12].

Третья глава диссертации посвящена изучению трехмерной краевой задачи с частым периодическим чередованием граничных условий. Постановка задачи такова. Пусть х — (х, жз) и х = (^1,^2) ~ ДВУХ~ и трехмерные декартовы координаты, Г2 = сих [0, Н], где о-, напомним, произвольная односвязная ограниченная область в М2 с бесконечно дифференцируемой границей, s — натуральный параметр кривой ди. Через Е обозначим боковую поверхность цилиндра Q, через cuj и и?2 ~ верхнее и нижнее основания соответственно, cui = {х: х? дш, х3 = Н}, {х: х? дш, ?3 = 0}. Малый параметр введем следующим образом: г — H/(ttN), где N 1 — натуральное число. Боковую поверхность разобьем на два подмножества 7е и Г£, определив эти подмножества как объединение большого числа узких полос: j6 = {х: х? ди>, x3-en{j + ½)| < erib (s)J = 0,., N — 1}, Г£ -? Г (см. рис. 2). Здесь г/ — г]{£) — произвольная функция, принимающая значения из интервала (0,7г/2), ge? С°°{дш) — произвольная функция, удовлетворяющая оценке 0 < С4 < ge (s) < 1с константой С4, не зависящей от е и s. Рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача на собственные значения:

Фе = 0,.

— А Фе-~ х е lji и 7е,.

КФе, дф£ dv х (0.22) 0, хеш2иг?, (0.23) где v — внешняя нормаль к границе сЮ. Отметим, что в этой задаче разбиение границы из не производится, а разбивается только боковая поверхность цилиндра Q. Сечение этого цилиндра обозначается здесь через из, чтобы не вводить излишних обозначений.

В работе [80] была изучена сходимость краевой задачи для уравнения Пуассона в круговом цилиндре с граничными условиями (0.23) в предположении g?(s) = 1. В третьей главе диссертации на основе методик работ [22, 57,.

РИСУНОК 2. ПА an! г.

74, 80J будет изучена сходимость задачи (0.22), (0.23) и доказано следующее утверждение.

Теорема 0.5. Пусть норма ||ge||c2(du) ограничена равномерно по е, а для функции г] выполнено одно из равенств (0.4), (0.14). Тогда собственные значения задачи (0.22), (0.23) сходятся к собственным значениям одной из предельных задач:

— Аф0 = Ао^о, х Е ft, дф0 (0−24).

— 00 = 0, х Е U Е, dv 0, X Е из2, если для ту выполнено равенство (0.4), и.

— Аф0 = Х0ф0, X ей, фо = о, х Е из. дфо dv 0, х Е из2: д dv, А) фо = 0,? Е.

0.25) если для 7] выполнено равенство (0.14). Совокупная кратность собственных значений возмущенной задачи, сходящихся к одному и тому же предельному собственному значению, совпадает с кратностью этого предельного собственного значения. Для всякой собственной функции фо, соответствующей собственному значению Ло, существует сходящаяся к ней линейная комбинация собственных функций возмущенной задачи, соответствующих собственным значениям, сходящимся к Ло-Эт, а сходимость — сильная в Hl (Q), если предельная, — задача (0.24) или (0.25) с, А = 0, и сильная в L, 2(fl) и слабая в Н1^), если предельнаязадача (0.25) с, А > 0.

Как и в двух предыдущих главах, основной целью третьей главы является построение асимптотических разложений собственных элементов задачи (0.22), (0.23). Прежде чем сформулировать основные результаты третьей главы, введем дополнительные обозначения.

Задачи (0.24), (0.25) легко решаются разделением переменных: Aq = М2 + х, ф0(х) = ф0(х) cos Мхз, где М = тг (т + ½)Я-1, т> 0 — целое число, х и фо — собственные элементы двумерной задачи.

— для задачи (0.25). Здесь v — внешняя нормаль к дш.

Сформулируем теперь основные результаты третьей главы диссертации.

Теорема 0.6. Пусть выполнено равенство (0.4) и существует > 0, такое что норм, а Гельдера ||ge||c2+c5(aw) ограничена по е. Тогда собственные значения Ае задачи (0.22), (0.23), сходящиеся к простым собственным значениям Ао задачи (0.24), имеют следующие двупараметриче-ские асимптотики:

— Ахфо — хф0) хеш, фо — 0, х Е дш.

0.26) для задачи (0.24) и.

А£ = А0 + eAifa, е) + О U3/2(1пт?|3/2 + 1.

0.28) f (^j lnsinT/g?ds, (0.29) дш где ||</>o||l2(w) — 1- Асимптотика соответствующей собственной функции ф£ в норме имеет вид (3.54)¦

Следующая лемма носит вспомогательный характер и необходима для формулировки теоремы 0.7. Доказательство этой леммы будет проведено в третьем параграфе третьей главы диссертации.

Лемма 0.2. Для каждого простого собственного значения к задачи (0.27) существует единственное и простое собственное значение задачи.

— ДХФ0 = /СФ0, xGw, (0.30) + А + = х G дси: (0.31) сходящееся к ж при /л —" 0. Для соответствующим нормированных в ½(о-) собственных функций имеет место сильная в Н1(и) сходимость Фо ~ФоСобственное значение /С (/л) и соответствующая, собственная функция Ф0(х, д) голоморфны по ц (последняя — в норме Н1(си)).

Теорема 0.7. Пуст, ь выполнено равенство (0.14) для функции rj и норм, а ||§ еIIс2ограничена равномерно по е. Тогда, собственные значения Х£ задачи (0.22), (0.23), сходящиеся к простым собственным значениям Aq задачи (0.25), имеют следующие двупараметрические асимптотики: = А0(м) + eAi (/z, е) + е2Л2(^, е) + 0(е3(А + д)), (0.32).

Ai (/i, e) ={A + fi)2 J Фо lng? ds, дш.

A2(/i, e) =(A + }i)2 J (фоф^п^-^кф^ ds+ (о.ЗЗ) дш {А + «? f Фц1п2 g? ds, aw где Aq = /С (д) + М2, /С и Фо удовлетворяют лемме 0.2, причем- /С выбрано из условия, JC (fi) -> >с. Функция Фх = Фх (х,/i, s) — решение задачи.

— АХФ1 = /СФх + ЛхФо, хеш, (0.34) + Л + ^ Фх = -(А + /1)2Ф0 lng?, х? дсо, (0.35) удовлетворяющее условию ортогональности (Фо, = k (s) = r" (s), v (s))E-2, v = v (s) — r (s) — двумерная вектор-функция, задающая dev. Функции Ai, Ф^ голоморфны по ц (последние — в норме Я" 1 (о-)). Асимптотики соответствующих собственных функций фЕ в норме Н1(С1) имеют вид (3.56).

Замечание 0.6. Отметим, что в случае кратного предельного значения у задач (0.24), (0.25) также возможно построить асимптотики собственных элементов задачи (0.22), (0.23). Кроме того, методика построения асимптотик в условиях теорем 0.6, 0.7 позволяет также строить и полные асимптотические разложения собственных асимптотики собственных элементов задачи (0.22), (0.23). Подобные исследования были сделаны в работах [10, 11], где изучался случай кругового цилиндра с полосами постоянной ширины (g? = 1). В [11] - для усредненной задачи (0.24), а в [10j.

— для усредненной задачи (0.25) были построены полные асимптотические разложения собственных значений задачи (0.22), (0.23), сходящихся к простым и кратным предельным значениям, а также полные асимптотические разложения соответствующих собственных функций. На основе полученных асимптотических разложений удалось установить достаточно простой и конструктивный критерий определения кратности у заданного собственного значения задачи (0.22), (0.23).

Теорема 0.5 будет доказана в первом параграфе третьей главы. Схема доказательства теорем 0.6, 0.7 аналогично доказательству теорем 0.1−0.4. Формальные построения асимптотик в условиях теорем 0.6, 0.7 проводятся во втором и третьем параграфах. Четвертый параграф посвящен обоснованию формальных асимптотических разложений.

Результаты третьей главы были опубликованы в [10, 11, 63].

Прежде, чем приступить к доказательству сформулированных теорем, сделаем несколько замечаний об обозначениях, используемых в диссертации. В формальных построениях асимптотик будут использоваться различные пограничные слои и внутренние разложения. Они будут строиться в терминах характерных «растянутых» переменных, которые мы всюду будем обозначать через? (для пограничных слоев) и <- (для внутренних разложений). Определение этих переменных зависит от размерности задачи, но эту зависимость в обозначениях мы не будем подчеркивать. Сами пограничные слои, внутренние разложения, а также внешние разложения мы также будем всюду обозначать одни и теми же символами вида г/jf (пограничный слой), ф" г (внутреннее разложение) и (внешнее разложение), несмотря на то, что эти ряды будут своими для каждой из рассматриваемых задач. Коэффициенты пограничных слоев и внутренних разложений также будем обозначать соответственно буквами v и w, каждый раз подразумевая, что эти величины свои для каждой из задач. Кроме того, у нас будут встречаться еще подобные одинаковые обозначения различных вспомогательных величин, которые определяются каждый раз в зависимости от задачи, но вместе с тем несут одну и ту же идейную нагрузку для всех задач. Подобные обозначения в диссертации используются, с одной стороны, чтобы указать на идейную связь в схемах формального построения для различных задач, с другой стороны, чтобы избежать излишней громоздкости в обозначениях. Всюду, где могут возникнуть двусмысленности, мы будем оговаривать, о каких именно величинах идет речь.

Выражаю самую искреннюю благодарность моему научному руководителю Гадылыпину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

1. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя. J1.: Изд-во ЛГУ, 1974. — 125 с.

2. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984 г. 352 с.

3. Беляев А. Г., Чечкин Г. А. Усреднение смешанной краевой задачи для оператора Лапласа в случае, когда «предельная» задача неразрешима // Мат. сборник. 1995. — Т. 186. Вып. 4. — С. 47−60.

4. Беляев А. К)., Чечкин Г. А. Усреднение операторов с мелкомасштабной структурой // Мат. заметки. 1999. — Т. 65. Вып. 4. — С. 496−510.

5. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. — 503 с.

6. Борисов Д. И., Гадылыпин Р. Р. О спектре Лапласиана с часто меняющимся типом граничных условий // ТМФ. 1999. — Т. 118. № 3. С. 347−353.

7. Борисов Д. И. О двупараметрической асимптотике в одной краевой задаче для Лапласиана // Матем. заметки. 2001. — Т. 70. Вып. 4. -С. 520−534.

8. Борисов Д. И. Двупараметрические асимптотики собственных числе Лапласиана с частым чередованием граничных условий // Вестник молодых ученых. Серия прикладная математика и механика. 2002. Вып. 1. С. 32−52.

9. Борисов Д. И. О Лапласиане с часто и непериодически чередующимися граничными условиями // Доклады АН. 2002. — Т. 383. № 4. С. 443−445.

10. Борисов Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий // Мат. сборник. 2002. — Т. 193. № 7. — С. 37−68.

11. Борисов Д. И. О сингулярно возмущенной краевой задаче для Лапласиана в цилиндре // Дифф. уравнения. 2002. — Т. 38. 8. — С. 1071−1078.

12. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов Лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий // Изв. РАН. Сер. матем. принято к печати. Препринт.: arXiv: math-ph/209 004. 2002. — 52 с.

13. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 с.

14. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

15. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // Успехи мат. наук. 1957. — Т. 12. JVQ 5. — С.3−122.

16. Гадыльшин Р. Р. Спектр эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении граничных условий: Сб. науч. тр. «Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений». Уфа: БНЦ УрО АН СССР 1988. — С. 3−15.

17. Гадыльшин Р. Р. Об асимптотике собственных значений для периодически закрепленной мембраны // Алгебра и анализ. 1998. — Т. 10. Вып. 1. — С. 3−19.

18. Гадыльшин Р. Р. О краевой задаче для Лапласиана с быстро осциллирующими граничными условиями // Доклады АН. 1998. — Т. 362. № 4. — С. 456−459.

19. Гадыльшин Р. Р., Чечкип Г. А. Краевая задача для Лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области // Сиб. мат. журнал. 1999. — Т. 40. № 2. — С. 271−287.

20. Гадыльшин Р. Р. Асимптотики собственных значений краевой задачи с быстро осциллирующими граничными условиями // Дифф. уравнения. 1999. — Т. 35. № 4. — С. 540−551.

21. Гадыльшин Р. Р. Системы резонаторов // Изв. РАН. Сер. матем. -2000. Т. 64. № 3. — С. 51−96.

22. Гадыльшин Р. Р. Осреднение и асимптотики в задаче о часто закрепленной мембране // ЖВМиМФ. 2001. — Т. 41. № 12. — С. 1857−1869.

23. Гадыльшин Р. Р. О модельном аналоге резонатора Гельмгольца в усреднении // Труды МИРАН. 2002. — Т. 236. — С. 79−86.

24. Гадыльшин Р. Р. Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории усреднения // Мат. сборник. 2002. — Т. 193. № 11. — С. 43−70.

25. Доронина Е. И., Чечкин Г. А. Об усреднении решений эллиптического уравнения второго порядка с непериодическими быстро меняющимися граничными условиями // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 2001. — № 1. — С. 14−19.

26. Доронина Е. И., Чечкин Г. А. О собственных колебаниях тела с большим количеством непериодически расположенных концентрированных масс // Труды МИРАН. 2002 — Т. 236. — С. 158−166.

27. Егер В., Олейник О. А., Шамаев А. С. О задаче усреднения для уравнения Лапласа в частично перфорированной области // Доклады АН. 1993. — Т. 333. № 4. — С. 424−427.

28. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993. 462 с.

29. Жиков В. В. Об усреднении нелинейных вариационных задач в перфорированных областях // Доклады АН. 1995. — Т. 345. N5 2. — С. 156−160.

30. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай // Мат. сборник. 1976. — Т. 99. № 4. — С. 514−537.

31. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием // Мат. сборник. 1977. — Т. 103(145). № 2. — С. 265−284.

32. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

33. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. -740 с.

34. Козлов С. М., Пятницкий A. JI. Усреднение на фоне исчезающей вязкости // Мат. сборник. 1990. — Т. 181. № 6. — С. 813−832.

35. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1979. 274 с.

36. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.

37. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1981. 207 с.

38. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач в областях с малымиотверстиями. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. — Т. 48. № 2. — С. 347−371.

39. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974. 279 с.

40. Мельник Т. А., Назаро в С. А. Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в области типа «густого гребня» // Труды семинара им. И. Г. Петровкого. 1996. — Т. 19. — С. 138−174.

41. Мовчан А. В., Назаров С. А. Влияние малых неровностей поверхности на напряженное состояние тела и энергетический баланс при росте трещины // Прикл. мат. и мех. 1991. — Т. 55. Вып. 5. — С. 819−828.

42. Найфе А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1986. 455 с.

43. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991. 335 с.

44. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.

45. Олейник О. А., Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстро меняющимся типом граничных условий // УМН.- 1993. Т. 48. — Вып. 6(294). — С. 163−165.

46. Олейник О. А., Чечкин Г. А. Об одной задаче граничного усреднения для системы теории упругости. // УМН. 1994. — Т.49 Вып. 4(298).- С. 114.

47. Олейник О. А., Шамаев А. С. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с условиями Дирихле на границе полостей // Доклады АН. 1994. -Т. 337- № 2. — С. 168−171.

48. Пастухова С. Е. О характере распределения поля температур в перфорированном теле с заданным его значением на внешней границе в условиях теплообмена на границе полостей по закону Ньютона Ц Мат. сборник. 1996. — Т. 187. № 6. — С. 85−96.

49. Перес М. Е., Чечкин Г. А., Яблокова Е. И. О собственных колебаниях тела с «легкими» концентрированными массами на поверхности //' УМН. 2002. — Т. 57 Вып. 6. — С. 195−196.

50. Планида М. Ю. О сходимости решений сингулярно возмущенных краевых задач для Лапласиана // Матем. заметки. 2002. — Т. 71. Вып. 6. — С. 867−877.

51. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

52. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. 448 с.

53. Скрыпник И. В. Асимптотика решений нелинейных эллиптических краевых задач в перфорированных областях // Мат. сборник. 1993. — Т. 184. № 10. — С. 67−90.

54. Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка с осциллирцюшими граничными условиями // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. -Новосибирск: ИМ СОАН СССР. 1988. С. 95−104.

55. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий /'/ Мат. сборник. 1993. — Т. 184. № 6. — С. 99−150.

56. Чечкин Г. А. Полное асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимися граничными условиями в слое // УМН. 1993. — Т. 48. К0- 4(292). — С. 218−219.

57. Чечкин Г. А. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимся типом граничных условий // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1996. — Т. 19. — С. 323−337.

58. Шапошникова Т. А. Усреднение краевой задачи для бигармоническо-го уравнения в области, содержащей тонкие каналы малой длины. // Мат. сборник. 2001. — Т. 192. № 10. — С. 131−160.

59. Barenbaltt G. I., Bell J. В., and Crutchfiled W. Y. The thermal explosion revisited // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1998. — V. 95. № 23. — P. 1 338 413 386.

60. Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolau G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam-New-York-Oxford: North Holland, 1978. 700 p.

61. Borisov D. I. The asymptotics for the eigenelements of the Laplacian in a cylinder with frequently alternating boundary conditions // C. R. Acad. Sci. Paris, Serie lib. 2001. — t. 329. № 10. — P. 717−721.

62. Borisov D. I. On a model boundary value problem for Laplacian with frequently alternating type of boundary condition // Asymptotic Anal.- 2003. V. 35. № 1. — P. 1−26.

63. Brillard A., Lobo M., Perez E. Homogeneisation de frontieres par epi-convergence en elasticite lineaire // Modelisation mathematique et Analyse numerique. 1990. V. 24. № 1. — P. 5−26.

64. Chechkin G. A., Doronina E. I. On asymptotics of spetrum of boundary value problem with nonperiodic rapidly alternating boundary conditions. // Functional Differential Equations. 2001. — V. 8. № 1−2. — P. 111−122.

65. Damlamian A. and Li Ta-Tsien (Li Daqian). Homogeneisation sur le bord pour les problemes elliptiques. // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I 1984. — V. 299. № 17. — P. 859−862.

66. Damlamian A. Le probleme de la passoire de Neumann. // Rend. Semin. Mat., Torino. 1985. — V. 43. — P. 427−450.

67. Damlamian A. and Li Ta-Tsien (Li Daqian). Boundary homogenization for ellpitic problems // J. Math. Pure et Appl. 1987. — V. 66. № 4. -P. 351−361.

68. Davila J. A nonlinear elliptic equation with rapidly oscillating boundary conditions // Asymptotic Anal. 2001. — V. 28. № 3−4. — P. 279−307.

69. Filo J., Luckhaus S. Asymptotic expansion for a periodic boundary condition // J. Diff. Equations. 1995. — V. 120. № 1. — P. 133−173.

70. Filo J. A note on asymptotic expansion for a periodic boundary condition // Arch. Math. Brno 1998. — V. 34. №- 1. — P. 83−92.

71. Filo J., Luckhaus S. Homogenization of a boundary condition for the heat equation // J. Eur. Math. Soc. 2000. — V. 2. № 3. — P. 217−258.

72. Friedman A., Huang Ch. and Yong J. Effective permeability of the boundary of a domain // Comm. Partial Differential Equations. 1995. V. 20 (1&2). P. 59−102.

73. Gadylshin R. R. Asymptotics of minimum eigenvalue for a circle with fast oscillating boundary conditions // C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Math. -1996. t. 323. № 3. — P. 319−323.

74. Gadyl’shin R. R. On an analog of the Helmholtz resonator in the averaging theory // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. 1999. — t. 329. № 12. — P. 1121−1126.

75. Gadyl’shin R. R. Eigenvalues and scattering frequencies for domain with narrow appendixes and tubes // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. lib. 2001. t. 329. № 10. P. 723−726.

76. Lobo M. and Perez E. Asymptotic behaviour of an elastic body with a surface having small stuck regions // RAIRO Model. Math. Anal. Numer.- 1988. V. 22. № 4. — P. 609−624.

77. Lobo M., Perez E. Boundary homogenization of certain elliptic problems for cylindrical bodies // Bull. Sci. Math. 1992. — V. 116, Ser. 2. — P. 399−426.

78. Lobo M. and Perez E. On vibrations of a body with many concentrated masses near the boundary // Math. Models Methods Appl. Sci. 1993. V. 3. № 2. P. 249−273.

79. Lobo M. and Perez E. Vibrations of a membrane with many concentrated masses near the boundary // Math. Models Methods Appl. Sci.- 1995. -V. 5. № 5. P. 565−585.

80. Oleinik O. A., Chechkin G. A. Solutions and eigenvalues of the boundary value problems with rapidly alternating boundary conditions for the system of elasticity // Rendiconti Lincei: Mathematica e Applicazioni. Serie IX. 1996. — V.7 № 1. — P.5−15.

81. Ovseevich A. I., Pyatnitskii A. I., Shamaev A. S. Asymptotic behavior of solutions to a boundary value problem with small parameter // Russ. J. Math. Phys. 1996. — V. 4. № 4. — P. 487−498.

82. Rybalko V. Vibrations of elastic system with a large number of tiny heavy inclusions // Asymptotic Anal. 2002. — V. 32. № 1. — P. 27−62.